Номер 499, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 499, страница 147.

499 Найдите координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$.

Чтобы найти координаты общих точек графиков зависимостей $y = x^2$ и $y = |x|$, необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих двух зависимостей. В точках пересечения координаты $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы можем приравнять их правые части:

$x^2 = |x|$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 = x$

Перенесем все члены в левую часть и решим уравнение:

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = x^2$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, по определению модуля, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть и решим уравнение:

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_3 = 0$

$x_4 = -1$

Корень $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому он не является решением в данном случае. Корень $x_4 = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x_4 = -1$:

При $x_4 = -1$, $y_4 = (-1)^2 = 1$. Третья точка пересечения: $(-1, 1)$.

Таким образом, графики функций имеют три общие точки.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$.