Номер 496, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 496, страница 147.

496 Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$. Укажите промежутки значений $x$, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола $y = x^3$ пересекается с прямой $y = x$.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = x$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения их координаты совпадают. Составим и решим уравнение:

$x^3 = x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$;
$x_2 - 1 = 0 \implies x_2 = 1$;
$x_3 + 1 = 0 \implies x_3 = -1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты (y), подставив полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее всего использовать уравнение прямой $y = x$:

При $x = -1$, $y = -1$. Координаты первой точки: $(-1, -1)$.
При $x = 0$, $y = 0$. Координаты второй точки: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Координаты третьей точки: $(1, 1)$.

Ответ: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

Укажите промежутки значений x, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Условие "прямая расположена выше кубической параболы" означает, что значение функции $y = x$ больше значения функции $y = x^3$. Запишем это в виде неравенства:

$x > x^3$

Для решения перенесем все члены в левую часть:

$x - x^3 > 0$

Вынесем $x$ за скобки и разложим на множители, как в предыдущем пункте:

$x(1 - x^2) > 0$

$x(1 - x)(1 + x) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $x(1 - x)(1 + x)$ в каждом из них:

1. Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем пробную точку $x = -2$.
$(-2)(1 - (-2))(1 + (-2)) = (-2)(3)(-1) = 6$. Так как $6 > 0$, интервал удовлетворяет неравенству.
2. Интервал $(-1, 0)$: возьмем пробную точку $x = -0.5$.
$(-0.5)(1 - (-0.5))(1 + (-0.5)) = (-0.5)(1.5)(0.5) = -0.375$. Так как $-0.375 < 0$, интервал не удовлетворяет неравенству.
3. Интервал $(0, 1)$: возьмем пробную точку $x = 0.5$.
$(0.5)(1 - 0.5)(1 + 0.5) = (0.5)(0.5)(1.5) = 0.375$. Так как $0.375 > 0$, интервал удовлетворяет неравенству.
4. Интервал $(1, +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 2$.
$(2)(1 - 2)(1 + 2) = (2)(-1)(3) = -6$. Так как $-6 < 0$, интервал не удовлетворяет неравенству.

Неравенство выполняется на интервалах, где значение выражения положительно. Объединив полученные интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.