Номер 500, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 500, страница 147.

500 Постройте параболу, симметричную параболе $y = x^2$ относительно оси абсцисс. Каким соотношением связаны координаты точек этой параболы?

Задача состоит из двух частей: построение параболы, симметричной данной, и нахождение уравнения, связывающего координаты ее точек.

Исходная парабола задана уравнением $y = x^2$. Нам нужно найти уравнение параболы, симметричной ей относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

Симметрия относительно оси абсцисс означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на исходной кривой, соответствующая ей симметричная точка на новой кривой будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. То есть абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет свой знак на противоположный.

Пусть точка $M(x, y)$ принадлежит искомой симметричной параболе. Тогда точка $M'(x, -y)$ должна принадлежать исходной параболе $y = x^2$. Подставим координаты точки $M'$ в уравнение исходной параболы. Вместо $y$ подставляем $-y$, а $x$ остается без изменений:

$(-y) = x^2$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y = -x^2$

Это и есть уравнение параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс. Оно же является соотношением, которое связывает координаты $x$ и $y$ для любой точки, лежащей на этой новой параболе.

Для построения графика этой параболы можно воспользоваться таблицей значений или просто "отразить" график $y=x^2$ относительно оси $Ox$. Парабола $y=x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=-x^2$ также имеет вершину в точке $(0,0)$, но ее ветви направлены вниз.

Ключевые точки для построения:
- если $x=0$, то $y = -0^2 = 0$. Точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y = -1^2 = -1$. Точка $(1,-1)$.
- если $x=-1$, то $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1,-1)$.
- если $x=2$, то $y = -2^2 = -4$. Точка $(2,-4)$.
- если $x=-2$, то $y = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2,-4)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим искомую параболу.

Ответ: Парабола, симметричная параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс, задается уравнением $y=-x^2$. Это уравнение и является соотношением, связывающим координаты $(x,y)$ точек этой параболы.