Номер 504, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Графики вокруг нас. Глава 5. Координаты и графики - номер 504, страница 152.

504 Турист поднялся из посёлка на вершину горы, а затем вернулся обратно в посёлок. На рисунке 5.44 представлен график движения туриста. С помощью графика ответьте на вопросы:

Расстояние от посёлка, км

Время, мин Рис. 5.44

а) Сколько времени турист пробыл на вершине горы?

б) За сколько минут турист прошёл первый километр подъёма и первый километр спуска?

в) Сколько километров турист прошёл за первые полчаса пути? за следующий час пути?

г) Через сколько времени от начала движения турист был в 2 км от посёлка?

д) Чему была равна средняя скорость туриста (в км/ч) на подъёме? на спуске?

а) Сколько времени турист пробыл на вершине горы?

На графике горизонтальный участок соответствует остановке туриста. Этот участок находится на максимальной высоте (максимальном расстоянии от посёлка), что соответствует вершине горы. По графику видно, что расстояние перестает увеличиваться в момент времени $t_1 = 120$ минут и начинает уменьшаться в момент времени $t_2 = 140$ минут. Время, которое турист пробыл на вершине, равно разности этих моментов времени.

$\Delta t = t_2 - t_1 = 140 \text{ мин} - 120 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$

Ответ: 20 минут.

б) За сколько минут турист прошёл первый километр подъёма и первый километр спуска?

Первый километр подъёма: Подъём начинается в момент времени $t=0$ с расстояния $S=0$ км. Найдём на оси времени точку, соответствующую расстоянию $S=1$ км на подъёме. По графику видно, что это происходит в момент времени $t=20$ минут. Следовательно, на первый километр подъёма турист затратил 20 минут.

Первый километр спуска: Спуск начинается с вершины горы, которая находится на расстоянии 5 км от посёлка, в момент времени $t=140$ минут. Первый километр спуска означает, что расстояние от посёлка уменьшилось с 5 км до 4 км. Найдём на графике точку, где расстояние во время спуска равно 4 км. Это происходит в момент времени $t=170$ минут. Время, затраченное на первый километр спуска, равно:

$\Delta t = 170 \text{ мин} - 140 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$

Ответ: первый километр подъёма за 20 минут, первый километр спуска за 30 минут.

в) Сколько километров турист прошёл за первые полчаса пути? за следующий час пути?

За первые полчаса (30 минут): Найдём на графике точку, соответствующую времени $t=30$ минут. Эта точка находится ровно посередине между отметками 20 и 40 минут. В момент $t=20$ мин расстояние равно 1 км, а в момент $t=40$ мин — 2 км. В момент $t=30$ мин расстояние будет равно 1,5 км.

За следующий час (с 30-й по 90-ю минуту): Нам нужно найти расстояние, пройденное в интервале времени от $t_1=30$ мин до $t_2=90$ мин. Мы уже знаем, что в $t_1=30$ мин расстояние от посёлка составляло $S_1 = 1,5$ км. Найдём расстояние в $t_2=90$ мин. Эта точка времени находится посередине между 80 и 100 минутами. В $t=80$ мин расстояние $S=4$ км, а в $t=100$ мин — $S=4,5$ км. Значит, в $t_2=90$ мин расстояние от посёлка $S_2$ составляет примерно 4,25 км. Пройденный путь за этот час равен:

$\Delta S = S_2 - S_1 = 4,25 \text{ км} - 1,5 \text{ км} = 2,75 \text{ км}$

Ответ: за первые полчаса турист прошёл 1,5 км; за следующий час — 2,75 км.

г) Через сколько времени от начала движения турист был в 2 км от посёлка?

Найдём на графике точки, в которых расстояние от посёлка равно 2 км (то есть где график пересекает горизонтальную линию $S=2$ км).

1. На подъёме: По графику видно, что расстояние в 2 км было достигнуто в момент времени $t=40$ минут.

2. На спуске: Турист снова оказался на расстоянии 2 км от посёлка, когда возвращался. Это произошло между 180-й и 200-й минутами. В $t=180$ мин расстояние было 3 км, а в $t=200$ мин — 0 км. Участок графика между этими точками выглядит как прямая линия. Можем найти точное время с помощью пропорции. За $200 - 180 = 20$ минут турист прошёл $3 - 0 = 3$ км. Чтобы пройти 1 км (с 3 км до 2 км), ему потребовалось: $20 \text{ мин} \times \frac{1 \text{ км}}{3 \text{ км}} = \frac{20}{3} \text{ мин} \approx 6,7$ мин. Таким образом, это произошло примерно в $180 + 6,7 \approx 186,7$ минут.

Ответ: через 40 минут и примерно через 186,7 минут.

д) Чему была равна средняя скорость туриста (в км/ч) на подъёме? на спуске?

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденный путь, а $t$ — время в пути.

На подъёме: Путь $S_{подъём} = 5$ км. Время $t_{подъём} = 120$ мин. Переведём в часы: $120 \text{ мин} = \frac{120}{60} \text{ ч} = 2$ ч. Средняя скорость на подъёме: $v_{ср, подъём} = \frac{5 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2,5$ км/ч.

На спуске: Путь $S_{спуск} = 5$ км. Время $t_{спуск} = 200 \text{ мин} - 140 \text{ мин} = 60$ мин. Переведём в часы: $60 \text{ мин} = 1$ ч. Средняя скорость на спуске: $v_{ср, спуск} = \frac{5 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

Ответ: средняя скорость на подъёме — 2,5 км/ч, на спуске — 5 км/ч.