Номер 511, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.7. Графики зависимостей, заданных равенствами с модулями. Глава 5. Координаты и графики - номер 511, страница 156.

511 Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $y = |x| - x;$

б) $y = |x| \cdot x;$

в) $y = \frac{|x|}{x};$

г) $y = \frac{2x}{|x|}.$

а) $y = |x| - x$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$y = x - x = 0$.
Таким образом, для всех $x \ge 0$ график представляет собой луч, совпадающий с положительной полуосью абсцисс (Оx), включая начало координат.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$y = -x - x = -2x$.
Это уравнение задает прямую с угловым коэффициентом -2. Для $x < 0$ это луч, исходящий из начала координат и проходящий через вторую координатную четверть. Например, при $x=-1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=4$.

Объединяя оба случая, получаем искомое множество точек.

Ответ: График состоит из двух лучей, выходящих из точки (0,0): один луч совпадает с неотрицательной частью оси Оx ($y=0$ при $x \ge 0$), а второй задается уравнением $y=-2x$ при $x < 0$.

б) $y = |x| \cdot x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = x \cdot x = x^2$.
Графиком является часть параболы $y = x^2$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат (правая ветвь параболы).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = (-x) \cdot x = -x^2$.
Графиком является часть параболы $y = -x^2$, расположенная в третьей координатной четверти (левая ветвь параболы, которая симметрична параболе $y=x^2$ относительно оси Оx).

Итоговый график получается объединением этих двух частей.

Ответ: Множество точек является графиком, который при $x \ge 0$ совпадает с параболой $y=x^2$, а при $x < 0$ совпадает с параболой $y=-x^2$.

в) $y = \frac{|x|}{x}$

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это значит, что на оси ординат (где $x=0$) точек, принадлежащих множеству, нет.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.
Это открытый луч (горизонтальная прямая), идущий вправо от оси Оy на высоте $y=1$. Точка (0,1) не принадлежит графику (является "выколотой").

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.
Это открытый луч, идущий влево от оси Оy на высоте $y=-1$. Точка (0,-1) также является "выколотой".

График состоит из двух непересекающихся горизонтальных лучей.

Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y=1$ для всех $x>0$ и $y=-1$ для всех $x<0$.

г) $y = \frac{2x}{|x|}$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$. Точки на оси ординат не входят в искомое множество.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{x} = 2$.
Графиком является открытый горизонтальный луч $y=2$ для всех $x>0$. Точка (0,2) "выколота".

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{-x} = -2$.
Графиком является открытый горизонтальный луч $y=-2$ для всех $x<0$. Точка (0,-2) "выколота".

Искомое множество точек состоит из двух горизонтальных лучей.

Ответ: Множество точек состоит из двух открытых лучей: $y=2$ при $x > 0$ и $y=-2$ при $x < 0$.