Номер 518, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Координаты и графики - номер 518, страница 157.

518 Прямоугольник задан условиями

$1 \le x \le 3$ и $1 \le y \le 2$.

Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных этому прямоугольнику относительно:

а) оси ординат;

б) оси абсцисс;

в) начала координат.

Исходный прямоугольник задан системой неравенств $1 \le x \le 3$ и $1 \le y \le 2$. Это множество точек на координатной плоскости, ограниченное вертикальными прямыми $x=1$, $x=3$ и горизонтальными прямыми $y=1$, $y=2$. Вершинами этого прямоугольника являются точки с координатами (1, 1), (3, 1), (3, 2) и (1, 2).

а) оси ординат;

При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$. Это означает, что абсцисса точки меняет свой знак, а ордината остается неизменной.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Новая абсцисса $x_{new} = -x$, откуда $x = -x_{new}$. Подставляем в неравенство: $1 \le -x_{new} \le 3$. Умножаем все части неравенства на -1 и меняем знаки неравенства на противоположные: $-1 \ge x_{new} \ge -3$. Это эквивалентно записи $-3 \le x_{new} \le -1$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = y$, поэтому неравенство для нее остается прежним: $1 \le y_{new} \le 2$.

Таким образом, множество точек, симметричное исходному прямоугольнику относительно оси ординат, описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $-3 \le x \le -1$ и $1 \le y \le 2$.

б) оси абсцисс;

При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x, -y)$. Абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Абсцисса не меняется, поэтому для новой координаты $x_{new}$ неравенство сохраняется: $1 \le x_{new} \le 3$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = -y$, откуда $y = -y_{new}$. Подставляем в неравенство: $1 \le -y_{new} \le 2$. Умножаем все части на -1 и меняем знаки: $-1 \ge y_{new} \ge -2$. Это эквивалентно записи $-2 \le y_{new} \le -1$.

Следовательно, искомое множество точек описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $1 \le x \le 3$ и $-2 \le y \le -1$.

в) начала координат.

При симметрии относительно начала координат (точки (0,0)) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, -y)$. Обе координаты меняют свои знаки.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Новая абсцисса $x_{new} = -x$, откуда $x = -x_{new}$. Подставляем: $1 \le -x_{new} \le 3$. Умножаем на -1 и меняем знаки: $-1 \ge x_{new} \ge -3$, что эквивалентно $-3 \le x_{new} \le -1$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = -y$, откуда $y = -y_{new}$. Подставляем: $1 \le -y_{new} \le 2$. Умножаем на -1 и меняем знаки: $-1 \ge y_{new} \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le y_{new} \le -1$.

Итак, множество точек, симметричное исходному прямоугольнику относительно начала координат, описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $-3 \le x \le -1$ и $-2 \le y \le -1$.