Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

514 Найдите число x, если:

а) $|x| = |x-5|$;

б) $|x| = |x+14|$;

в) $|x-2| = |x-8|$;

г) $|x+3| = |x-7|$.

Образец. Найдём число x, если $|x+2| = |x-10|$.

Решение. Равенство $|x+2| = |x-10|$ можно прочитать так: расстояние от точки x до точки -2 равно расстоянию от точки x до точки 10. Изобразим на координатной прямой числа -2 и 10 и найдём середину отрезка с концами в точках -2 и 10. Получим, что $x=4$.

а) Уравнение $|x| = |x - 5|$ можно переписать в виде $|x - 0| = |x - 5|$. Это означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 0 равно расстоянию от точки $x$ до точки 5. Следовательно, $x$ является серединой отрезка с концами в точках 0 и 5.
Найдем координату середины отрезка: $x = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: $2.5$.

б) Уравнение $|x| = |x + 14|$ можно переписать в виде $|x - 0| = |x - (-14)|$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до точки 0 равно расстоянию от точки $x$ до точки -14. Следовательно, $x$ является серединой отрезка с концами в точках 0 и -14.
Найдем координату середины отрезка: $x = \frac{0 + (-14)}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $-7$.

в) Уравнение $|x - 2| = |x - 8|$ означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 2 равно расстоянию от точки $x$ до точки 8. Следовательно, $x$ является серединой отрезка с концами в точках 2 и 8.
Найдем координату середины отрезка: $x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $5$.

г) Уравнение $|x + 3| = |x - 7|$ можно переписать в виде $|x - (-3)| = |x - 7|$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -3 равно расстоянию от точки $x$ до точки 7. Следовательно, $x$ является серединой отрезка с концами в точках -3 и 7.
Найдем координату середины отрезка: $x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$.

515 Прочитайте неравенство, используя слово «расстояние», и найдите с помощью координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству:

а) $|x| \ge |x - 1|;$

б) $|x + 2| \le |x - 2|.$

а) $|x| \ge |x - 1|$

Словесная формулировка неравенства: расстояние от точки $x$ на координатной прямой до точки 0 больше или равно расстоянию от точки $x$ до точки 1.

Геометрически это означает, что мы ищем множество таких точек $M(x)$, которые расположены не ближе к точке $A(0)$, чем к точке $B(1)$.

Точка, которая находится на одинаковом расстоянии от точек 0 и 1, является серединой отрезка, соединяющего их. Координата этой точки равна $x = \frac{0 + 1}{2} = 0.5$.

Все точки, которые находятся ближе к точке 1, чем к точке 0, или на равном расстоянии, расположены на координатной прямой правее точки 0.5, включая саму точку 0.5. Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0.5, +\infty)$.

Алгебраическое решение для проверки: так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$|x|^2 \ge |x-1|^2$
$x^2 \ge (x-1)^2$
$x^2 \ge x^2 - 2x + 1$
$0 \ge -2x + 1$
$2x \ge 1$
$x \ge 0.5$

Ответ: $x \in [0.5, +\infty)$.

б) $|x + 2| \le |x - 2|$

Преобразуем неравенство к виду $|x - (-2)| \le |x - 2|$. Словесная формулировка: расстояние от точки $x$ на координатной прямой до точки -2 меньше или равно расстоянию от точки $x$ до точки 2.

Геометрически мы ищем множество таких точек $M(x)$, которые расположены не дальше от точки $A(-2)$, чем от точки $B(2)$.

Точка, равноудаленная от точек -2 и 2, является серединой отрезка между ними. Координата этой точки равна $x = \frac{-2 + 2}{2} = 0$.

Все точки, которые находятся ближе к точке -2, чем к точке 2, или на равном расстоянии, расположены на координатной прямой левее точки 0, включая саму точку 0. Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-\infty, 0]$.

Алгебраическое решение для проверки:
$|x+2|^2 \le |x-2|^2$
$(x+2)^2 \le (x-2)^2$
$x^2 + 4x + 4 \le x^2 - 4x + 4$
$4x \le -4x$
$8x \le 0$
$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

516 Постройте ломаную ABCD по описанию её звеньев:

a) AB: $x = -5$ и $|y| \leq 5$;

BC: $y = x$ и $|x| \leq 5$;

CD: $y = 5$ и $0 \leq x \leq 5$;

б) AB: $x = -3$ и $-3 \leq y \leq 3$;

BC: $y = x$ и $-3 \leq x \leq 5$;

CD: $x = 5$ и $-5 \leq y \leq 5$.

а)

Чтобы построить ломаную ABCD, необходимо определить координаты ее вершин A, B, C и D, исходя из описания каждого звена.

1. Звено AB: Задано условиями $x = -5$ и $|y| \le 5$. Это означает, что звено является вертикальным отрезком на прямой $x = -5$. Неравенство $|y| \le 5$ эквивалентно $-5 \le y \le 5$. Следовательно, концы отрезка AB имеют координаты $(-5, -5)$ и $(-5, 5)$.

2. Звено BC: Задано условиями $y = x$ и $|x| \le 5$. Это отрезок прямой $y=x$. Неравенство $|x| \le 5$ эквивалентно $-5 \le x \le 5$. Концы этого отрезка соответствуют $x=-5$ и $x=5$, то есть их координаты $(-5, -5)$ и $(5, 5)$.

3. Звено CD: Задано условиями $y = 5$ и $0 \le x \le 5$. Это горизонтальный отрезок на прямой $y = 5$. Концы отрезка имеют координаты $(0, 5)$ и $(5, 5)$.

Ломаная ABCD состоит из последовательно соединенных звеньев AB, BC и CD. Точка B — общая для AB и BC, а точка C — общая для BC и CD. Найдем общие точки: общая точка для звена AB (с концами $(-5, -5)$ и $(-5, 5)$) и звена BC (с концами $(-5, -5)$ и $(5, 5)$) — это точка B(-5, -5). Общая точка для звена BC (с концами $(-5, -5)$ и $(5, 5)$) и звена CD (с концами $(0, 5)$ и $(5, 5)$) — это точка C(5, 5). Зная B, находим A как другой конец звена AB: A(-5, 5). Зная C, находим D как другой конец звена CD: D(0, 5). Итак, вершины ломаной имеют координаты: A(-5, 5), B(-5, -5), C(5, 5), D(0, 5).

Ответ: Ломаная ABCD строится по точкам с координатами A(-5, 5), B(-5, -5), C(5, 5), D(0, 5).

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Звено AB: Задано условиями $x = -3$ и $-3 \le y \le 3$. Это вертикальный отрезок на прямой $x = -3$. Концы отрезка имеют координаты $(-3, -3)$ и $(-3, 3)$.

2. Звено BC: Задано условиями $y = x$ и $-3 \le x \le 5$. Это отрезок прямой $y=x$. Концы этого отрезка соответствуют $x=-3$ и $x=5$, то есть их координаты $(-3, -3)$ и $(5, 5)$.

3. Звено CD: Задано условиями $x = 5$ и $-5 \le y \le 5$. Это вертикальный отрезок на прямой $x = 5$. Концы отрезка имеют координаты $(5, -5)$ и $(5, 5)$.

Теперь определим вершины ломаной, найдя общие точки звеньев. Общая точка для звена AB (с концами $(-3, -3)$ и $(-3, 3)$) и звена BC (с концами $(-3, -3)$ и $(5, 5)$) — это точка B(-3, -3). Общая точка для звена BC (с концами $(-3, -3)$ и $(5, 5)$) и звена CD (с концами $(5, -5)$ и $(5, 5)$) — это точка C(5, 5). Зная B, находим A как другой конец звена AB: A(-3, 3). Зная C, находим D как другой конец звена CD: D(5, -5). Итак, вершины ломаной имеют координаты: A(-3, 3), B(-3, -3), C(5, 5), D(5, -5).

Ответ: Ломаная ABCD строится по точкам с координатами A(-3, 3), B(-3, -3), C(5, 5), D(5, -5).

517 Задайте с помощью неравенств множества точек координатной плоскости, изображённые на рисунке 5.49, а, б.

a) $-2 \le x \le 6$

$-1 \le y \le 4$

б) $-3 \le x \le 3$

$-5 \le y \le 5$

Рис. 5.49

a)

Заштрихованная на рисунке область представляет собой прямоугольник. Чтобы задать это множество точек с помощью неравенств, необходимо определить его границы по осям координат $x$ и $y$. Поскольку границы изображены сплошными линиями, неравенства будут нестрогими, то есть будут включать знаки $\le$ или $\ge$.

Границы по оси абсцисс ($x$): область ограничена слева прямой $x = -2$ и справа прямой $x = 3$. Следовательно, для любой точки множества ее координата $x$ удовлетворяет двойному неравенству: $-2 \le x \le 3$.

Границы по оси ординат ($y$): область ограничена снизу прямой $y = -1$ и сверху прямой $y = 4$. Следовательно, для любой точки множества ее координата $y$ удовлетворяет двойному неравенству: $-1 \le y \le 4$.

Оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, множество точек задается системой двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 3 \\ -1 \le y \le 4 \end{cases}$

б)

Аналогично, на втором рисунке заштрихованная область является прямоугольником со сплошными границами.

Границы по оси абсцисс ($x$): область расположена между прямыми $x = -3$ и $x = 3$. Таким образом, координата $x$ любой точки множества удовлетворяет неравенству: $-3 \le x \le 3$.

Границы по оси ординат ($y$): нижняя граница проходит по прямой $y = -4$, а верхняя граница — по прямой $y = 5$. Это определено по разметке оси, где одно деление равно единице. Таким образом, координата $y$ любой точки множества удовлетворяет неравенству: $-4 \le y \le 5$.

Объединяя эти условия, получаем систему неравенств, которая описывает данное множество точек.

Ответ: $\begin{cases} -3 \le x \le 3 \\ -4 \le y \le 5 \end{cases}$

518 Прямоугольник задан условиями

$1 \le x \le 3$ и $1 \le y \le 2$.

Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных этому прямоугольнику относительно:

а) оси ординат;

б) оси абсцисс;

в) начала координат.

Исходный прямоугольник задан системой неравенств $1 \le x \le 3$ и $1 \le y \le 2$. Это множество точек на координатной плоскости, ограниченное вертикальными прямыми $x=1$, $x=3$ и горизонтальными прямыми $y=1$, $y=2$. Вершинами этого прямоугольника являются точки с координатами (1, 1), (3, 1), (3, 2) и (1, 2).

а) оси ординат;

При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$. Это означает, что абсцисса точки меняет свой знак, а ордината остается неизменной.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Новая абсцисса $x_{new} = -x$, откуда $x = -x_{new}$. Подставляем в неравенство: $1 \le -x_{new} \le 3$. Умножаем все части неравенства на -1 и меняем знаки неравенства на противоположные: $-1 \ge x_{new} \ge -3$. Это эквивалентно записи $-3 \le x_{new} \le -1$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = y$, поэтому неравенство для нее остается прежним: $1 \le y_{new} \le 2$.

Таким образом, множество точек, симметричное исходному прямоугольнику относительно оси ординат, описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $-3 \le x \le -1$ и $1 \le y \le 2$.

б) оси абсцисс;

При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x, -y)$. Абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Абсцисса не меняется, поэтому для новой координаты $x_{new}$ неравенство сохраняется: $1 \le x_{new} \le 3$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = -y$, откуда $y = -y_{new}$. Подставляем в неравенство: $1 \le -y_{new} \le 2$. Умножаем все части на -1 и меняем знаки: $-1 \ge y_{new} \ge -2$. Это эквивалентно записи $-2 \le y_{new} \le -1$.

Следовательно, искомое множество точек описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $1 \le x \le 3$ и $-2 \le y \le -1$.

в) начала координат.

При симметрии относительно начала координат (точки (0,0)) каждая точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, -y)$. Обе координаты меняют свои знаки.

Применим это правило к заданным неравенствам:

1. Неравенство для $x$: $1 \le x \le 3$. Новая абсцисса $x_{new} = -x$, откуда $x = -x_{new}$. Подставляем: $1 \le -x_{new} \le 3$. Умножаем на -1 и меняем знаки: $-1 \ge x_{new} \ge -3$, что эквивалентно $-3 \le x_{new} \le -1$.

2. Неравенство для $y$: $1 \le y \le 2$. Новая ордината $y_{new} = -y$, откуда $y = -y_{new}$. Подставляем: $1 \le -y_{new} \le 2$. Умножаем на -1 и меняем знаки: $-1 \ge y_{new} \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le y_{new} \le -1$.

Итак, множество точек, симметричное исходному прямоугольнику относительно начала координат, описывается системой неравенств. Опуская индексы, получаем:

Ответ: $-3 \le x \le -1$ и $-2 \le y \le -1$.

519 Опишите на алгебраическом языке множества точек координатной плоскости, изображённые на рисунке 5.50, а, б.

а) $ \{ (x, y) \mid -2 \le x \le 2 \text{ и } (y \ge 3 \text{ или } y \le -3) \} $

или

$ \{ (x, y) \mid |x| \le 2 \text{ и } |y| \ge 3 \} $

б) $ \{ (x, y) \mid (x \le -2 \text{ или } x \ge 2) \text{ и } (y \ge 3 \text{ или } y \le -3) \} $

или

$ \{ (x, y) \mid |x| \ge 2 \text{ и } |y| \ge 3 \} $

Рис. 5.50

а)

Заштрихованная на рисунке область представляет собой множество точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют определенным условиям.
Проанализируем ограничения по оси абсцисс (x). Видно, что заштрихованные области расположены между вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 2$. Это означает, что для абсциссы x любой точки из этой области выполняется двойное неравенство $-2 \le x \le 2$. Используя свойство модуля, это можно записать как $|x| \le 2$.
Теперь проанализируем ограничения по оси ординат (y). Область состоит из двух частей: одна часть находится выше горизонтальной прямой $y = 3$, а другая — ниже прямой $y = -3$. Таким образом, для ординаты y любой точки из этой области выполняется либо $y \ge 3$, либо $y \le -3$. Это совокупность неравенств, которую можно записать с помощью модуля как $|y| \ge 3$.
Поскольку точка должна удовлетворять обоим условиям одновременно (и по x, и по y), искомое множество описывается системой неравенств.
Ответ: $\begin{cases} |x| \le 2, \\ |y| \ge 3. \end{cases}$

б)

Заштрихованная на рисунке область состоит из четырех частей, симметрично расположенных относительно осей координат.
Рассмотрим ограничения по оси абсцисс (x). Заштрихованные области находятся левее прямой $x = -2$ или правее прямой $x = 2$. Это означает, что для абсциссы x выполняется совокупность неравенств $x \le -2$ или $x \ge 2$. В виде одного неравенства с модулем это записывается как $|x| \ge 2$.
Рассмотрим ограничения по оси ординат (y). Заштрихованные области находятся выше прямой $y = 3$ или ниже прямой $y = -3$. Это означает, что для ординаты y выполняется совокупность неравенств $y \ge 3$ или $y \le -3$. С помощью модуля это записывается как $|y| \ge 3$.
Точка принадлежит заштрихованной области, если ее координаты $(x; y)$ удовлетворяют и условию по x, и условию по y одновременно. Следовательно, искомое множество точек описывается системой неравенств.
Ответ: $\begin{cases} |x| \ge 2, \\ |y| \ge 3. \end{cases}$