Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 На рисунке 5.56 изображён график движения туриста от турлагеря до станции. Используя график, ответьте на следующие вопросы:

а) Сколько километров прошёл турист за первые 2 часа?

б) За сколько часов турист прошёл 15 км?

в) Сколько времени турист отдыхал?

г) Сколько всего километров прошёл турист?

д) Сколько всего часов шёл турист?

KM

20

16

12

8

4

0 1 2 3 4 5 $t, \text{ч}$

Рис. 5.56

а) Сколько километров прошёл турист за первые 2 часа?

На графике показана зависимость пройденного расстояния $s$ (в км) от времени движения $t$ (в ч). Чтобы определить расстояние, пройденное за первые 2 часа, необходимо найти на горизонтальной оси (оси времени) точку $t=2$. Затем нужно подняться от этой точки вертикально до пересечения с графиком и от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси расстояний).
На графике видно, что значению времени $t=2$ ч соответствует значение расстояния $s=8$ км.
Ответ: 8 км.

б) За сколько часов турист прошёл 15 км?

Чтобы определить время, за которое турист прошёл 15 км, найдём на вертикальной оси (оси расстояний) отметку $s=15$ км (середина отрезка между 12 и 16 км). Проведём от неё горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось (ось времени).
Из графика видно, что отметка в 15 км была достигнута после привала, на втором участке движения. Этот участок начинается в точке с координатами $(3; 10)$ и заканчивается в точке $(5; 20)$. Рассчитаем, в какой момент времени расстояние составило 15 км.
Скорость туриста на этом участке: $v = \frac{20 - 10}{5 - 3} = \frac{10}{2} = 5$ км/ч.
Время, необходимое для прохождения расстояния от 10 км до 15 км: $\Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{15 - 10}{5} = \frac{5}{5} = 1$ час.
Это время нужно добавить к моменту начала движения на втором участке, то есть к $t=3$ ч.
$t = 3 + 1 = 4$ ч.
Таким образом, 15 км турист прошёл за 4 часа.
Ответ: за 4 часа.

в) Сколько времени турист отдыхал?

Отдых (привал) на графике движения соответствует горизонтальному участку, на котором время идёт, а расстояние не изменяется.
На графике такой участок начинается при $t = 2,5$ ч и заканчивается при $t = 3$ ч. В это время турист находился на отметке 10 км от турлагеря.
Продолжительность отдыха равна разности времени окончания и начала привала:
$3 \text{ ч} - 2,5 \text{ ч} = 0,5$ ч.
0,5 часа равны 30 минутам.
Ответ: 0,5 часа (30 минут).

г) Сколько всего километров прошёл турист?

Общее пройденное расстояние — это конечное значение на оси расстояний, которое соответствует последней точке на графике.
График заканчивается в момент времени $t = 5$ ч.
В этой точке значение расстояния на вертикальной оси составляет $s = 20$ км.
Ответ: 20 км.

д) Сколько всего часов шёл турист?

Чтобы найти общее время, которое турист именно шёл (то есть находился в движении), нужно из общего времени путешествия вычесть время отдыха.
Общее время путешествия (согласно графику) составляет 5 часов.
Время отдыха (из пункта в) составляет 0,5 часа.
Время в движении: $5 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 4,5$ ч.
Можно также сложить длительность участков, на которых турист двигался:
1) Первый участок: с 0 ч до 2,5 ч, длительность $2,5$ часа.
2) Второй участок: с 3 ч до 5 ч, длительность $5 - 3 = 2$ часа.
Суммарное время движения: $2,5 + 2 = 4,5$ часа.
Ответ: 4,5 часа.

1 Поставьте в соответствие каждому промежутку его алгебраическое описание.

А) Точка -6, стрелка вправо.

Б) Точка -2, стрелка вправо.

В) Точка -6, стрелка влево.

Г) Точка -2, стрелка влево.

1) $x \ge -2$

2) $x \le -2$

3) $x \ge -6$

4) $x \le -6$

Чтобы установить соответствие между графическим изображением промежутка на числовой прямой и его алгебраическим описанием, необходимо проанализировать каждый случай. Закрашенная точка на прямой означает, что граничное значение включается в промежуток, что соответствует нестрогим неравенствам ( $ \le $ или $ \ge $ ). Направление штриховки указывает, больше или меньше значения переменной относительно граничной точки.

А) На этом графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -6 и направленный влево (в сторону отрицательной бесконечности). Точка -6 закрашена, значит, она включена в промежуток. Это соответствует всем числам x, которые меньше или равны -6. Алгебраически это записывается как $x \le -6$. Этот вариант соответствует описанию под номером 4.
Ответ: 4

Б) На этом графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -2 и направленный влево (в сторону отрицательной бесконечности). Точка -2 закрашена, значит, она включена в промежуток. Это соответствует всем числам x, которые меньше или равны -2. Алгебраически это записывается как $x \le -2$. Этот вариант соответствует описанию под номером 2.
Ответ: 2

В) На этом графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -6 и направленный вправо (в сторону положительной бесконечности). Точка -6 закрашена, значит, она включена в промежуток. Это соответствует всем числам x, которые больше или равны -6. Алгебраически это записывается как $x \ge -6$. Этот вариант соответствует описанию под номером 3.
Ответ: 3

Г) На этом графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -2 и направленный вправо (в сторону положительной бесконечности). Точка -2 закрашена, значит, она включена в промежуток. Это соответствует всем числам x, которые больше или равны -2. Алгебраически это записывается как $x \ge -2$. Этот вариант соответствует описанию под номером 1.
Ответ: 1

2 Укажите число, не принадлежащее промежутку $-0,25 < x < 0,55$.

1) $ \frac{1}{2} $

2) $ \frac{1}{4} $

3) $ -\frac{1}{3} $

4) $ -\frac{1}{5} $

Чтобы определить, какое из предложенных чисел не принадлежит промежутку $ -0,25 < x < 0,55 $, необходимо проверить каждое из них. Для удобства сравнения преобразуем обыкновенные дроби в десятичные.

1) Проверим число $ \frac{1}{2} $.
В десятичном виде это $ \frac{1}{2} = 0,5 $.
Сравним с границами промежутка: $ -0,25 < 0,5 < 0,55 $. Это неравенство является верным, следовательно, число $ \frac{1}{2} $ принадлежит данному промежутку.

2) Проверим число $ \frac{1}{4} $.
В десятичном виде это $ \frac{1}{4} = 0,25 $.
Сравним с границами промежутка: $ -0,25 < 0,25 < 0,55 $. Это неравенство является верным, следовательно, число $ \frac{1}{4} $ принадлежит данному промежутку.

3) Проверим число $ -\frac{1}{3} $.
В десятичном виде это $ -\frac{1}{3} = -0,333... $ (периодическая дробь).
Сравним с левой границей промежутка: $ -0,333... < -0,25 $. Это означает, что число $ -\frac{1}{3} $ меньше, чем нижняя граница интервала, и, следовательно, не принадлежит ему.

4) Проверим число $ -\frac{1}{5} $.
В десятичном виде это $ -\frac{1}{5} = -0,2 $.
Сравним с границами промежутка: $ -0,25 < -0,2 < 0,55 $. Это неравенство является верным, следовательно, число $ -\frac{1}{5} $ принадлежит данному промежутку.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое не принадлежит промежутку, это $ -\frac{1}{3} $.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $

3 На координатной прямой отмечены точки $A(-1.5)$ и $B(6)$. Найдите координату точки $M$, если известно, что $AM : MB = 1 : 2$.

Для нахождения координаты точки $M$, которая делит отрезок $AB$ в заданном отношении, можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование формулы деления отрезка в данном отношении

Если точка $M(x_M)$ делит отрезок с концами в точках $A(x_A)$ и $B(x_B)$ в отношении $AM:MB = m:n$, то ее координата вычисляется по формуле:

$x_M = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n}$

В нашей задаче даны:
Координата точки A: $x_A = -1.5$
Координата точки B: $x_B = 6$
Отношение $AM:MB = 1:2$, из чего следует, что $m=1$ и $n=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$x_M = \frac{2 \cdot (-1.5) + 1 \cdot 6}{1 + 2}$

Выполним вычисления:

$x_M = \frac{-3 + 6}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Способ 2: Через нахождение длины отрезка

1. Найдем общую длину отрезка $AB$. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов:
$|AB| = |x_B - x_A| = |6 - (-1.5)| = |6 + 1.5| = 7.5$.

2. Согласно условию, точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$. Это означает, что весь отрезок состоит из $1+2=3$ равных частей.

3. Найдем длину одной такой части:
$7.5 \div 3 = 2.5$.

4. Длина отрезка $AM$ соответствует одной части, следовательно, его длина равна $1 \cdot 2.5 = 2.5$.

5. Чтобы найти координату точки $M$, необходимо сместиться от точки $A$ вправо (в сторону точки $B$) на расстояние, равное длине отрезка $AM$:
$x_M = x_A + |AM| = -1.5 + 2.5 = 1$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1

4 Установите соответствие между неравенствами, задающими один и тот же числовой промежуток и расположенными в верхней и нижней строках.

А) $4 < x < 16$

Б) $-10 < x < 10$

В) $-8 < x < -2$

1) $|x| < 10$

2) $|x+5| < 3$

3) $|x-10| < 6$

Для того чтобы установить соответствие, необходимо решить каждое неравенство с модулем из нижней строки (1, 2, 3) и сопоставить полученные числовые промежутки с неравенствами из верхней строки (А, Б, В). Общее правило для решения неравенств вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) заключается в переходе к равносильному двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

А) $4 < x < 16$

Проверим, какое из неравенств с модулем задает данный промежуток. Возьмем неравенство 3) $|x-10| < 6$.

Раскроем модуль, что приведет к двойному неравенству:

$-6 < x-10 < 6$

Теперь прибавим 10 ко всем трем частям неравенства, чтобы найти $x$:

$-6 + 10 < x - 10 + 10 < 6 + 10$

Упростив, получаем:

$4 < x < 16$

Этот промежуток в точности совпадает с неравенством А. Значит, А соответствует 3.

Ответ: 3

Б) $-10 < x < 10$

Проверим неравенство 1) $|x| < 10$.

Раскрытие модуля в данном неравенстве по определению дает двойное неравенство:

$-10 < x < 10$

Это полностью совпадает с неравенством Б. Значит, Б соответствует 1.

Ответ: 1

В) $-8 < x < -2$

Проверим неравенство 2) $|x+5| < 3$.

Раскроем модуль:

$-3 < x+5 < 3$

Теперь вычтем 5 из всех трех частей неравенства:

$-3 - 5 < x + 5 - 5 < 3 - 5$

Упростив, получаем:

$-8 < x < -2$

Этот промежуток совпадает с неравенством В. Значит, В соответствует 2.

Ответ: 2