Страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения:

а) $6^3$;

б) $10^5$;

в) $18^1$.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется выражение вида $a^n$, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a.
Формула: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.
Здесь a — это основание степени, а n — показатель степени.
Если показатель степени равен 1 ($n=1$), то степень числа a равна самому числу a: $a^1 = a$.

а) Найдем значение выражения $6^3$. Здесь основание равно 6, а показатель степени равен 3. Согласно определению, необходимо умножить число 6 само на себя 3 раза.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216.

б) Найдем значение выражения $10^5$. Основание равно 10, показатель степени равен 5. Необходимо умножить число 10 само на себя 5 раз.
$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000$.
Ответ: 100000.

в) Найдем значение выражения $18^1$. Основание равно 18, показатель степени равен 1. По определению степени с показателем 1, любое число в первой степени равно самому себе.
$18^1 = 18$.
Ответ: 18.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Упростите выражения: $a^{12} \cdot a^5$; $a^{10} \cdot a \cdot a^7$.

Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и его запись в буквенном виде

Правило формулируется следующим образом: при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

В буквенном виде это правило записывается так:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
где a — это основание степени, а m и n — ее показатели.

Упрощение выражений

$a^{12} \cdot a^5$
Чтобы упростить данное выражение, необходимо применить правило умножения степеней. Основание a остается без изменений, а показатели степеней, 12 и 5, складываются:
$a^{12} \cdot a^5 = a^{12+5} = a^{17}$
Ответ: $a^{17}$

$a^{10} \cdot a \cdot a^7$
В данном выражении три множителя с одинаковым основанием a. Правило умножения степеней распространяется и на этот случай. Важно помнить, что переменная a без указания показателя степени равна $a^1$. Таким образом, необходимо сложить все показатели: 10, 1 и 7.
$a^{10} \cdot a \cdot a^7 = a^{10} \cdot a^1 \cdot a^7 = a^{10+1+7} = a^{18}$
Ответ: $a^{18}$

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Упростите выражения: $\frac{a^{12}}{a^4}$, $\frac{a^{20}}{a^5}$.

Правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Правило деления степеней с одинаковыми основаниями в буквенном виде записывается следующей формулой:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
где $a$ – любое число, не равное нулю ($a \neq 0$), а $m$ и $n$ – натуральные числа.

Словесная формулировка правила: при делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Ответ: Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Правило: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить тем же, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Упрощение выражения $\frac{a^{12}}{a^4}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся правилом деления степеней. Основание $a$ остается без изменений, а из показателя степени числителя (12) необходимо вычесть показатель степени знаменателя (4).
$\frac{a^{12}}{a^4} = a^{12-4} = a^8$

Ответ: $a^8$

Упрощение выражения $\frac{a^{20}}{a^5}$

Аналогично предыдущему примеру, применяем правило деления степеней. Основание $a$ оставляем прежним, а из показателя степени числителя (20) вычитаем показатель степени знаменателя (5).
$\frac{a^{20}}{a^5} = a^{20-5} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$

524 Запишите в виде степени:

а) $x^3 x^5$;

б) $m^3 m$;

в) $bb^4 b^5$;

г) $cc^3 c$;

д) $xx^2 x^3 x^4$;

е) $n^2 n^2 n^2$.

а) Чтобы записать произведение $x^3 x^5$ в виде степени, используется правило умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому правилу, при умножении степеней с одинаковым основанием ($x$) их показатели складываются. В данном случае, мы складываем показатели 3 и 5.
$x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$
Ответ: $x^8$

б) В выражении $m^3 m$ основание степени также одинаковое - $m$. Важно помнить, что переменная без явного показателя степени имеет показатель, равный 1. То есть, $m = m^1$. Таким образом, мы складываем показатели степеней 3 и 1.
$m^3 \cdot m = m^3 \cdot m^1 = m^{3+1} = m^4$
Ответ: $m^4$

в) В выражении $b b^4 b^5$ все множители имеют одинаковое основание $b$. Первый множитель $b$ равен $b^1$. Чтобы представить произведение в виде степени, нужно сложить все показатели: 1, 4 и 5.
$b \cdot b^4 \cdot b^5 = b^1 \cdot b^4 \cdot b^5 = b^{1+4+5} = b^{10}$
Ответ: $b^{10}$

г) В выражении $c c^3 c$ основание степени у всех множителей одинаковое - $c$. Множители $c$ без показателя степени можно записать как $c^1$. Следовательно, мы должны сложить показатели 1, 3 и 1.
$c \cdot c^3 \cdot c = c^1 \cdot c^3 \cdot c^1 = c^{1+3+1} = c^5$
Ответ: $c^5$

д) В выражении $x x^2 x^3 x^4$ все множители имеют одинаковое основание $x$. Показатели степеней соответственно равны 1 (для первого множителя $x$), 2, 3 и 4. Сложим эти показатели.
$x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 = x^1 \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 = x^{1+2+3+4} = x^{10}$
Ответ: $x^{10}$

е) В выражении $n^2 n^2 n^2$ основание степени для всех множителей одинаково и равно $n$. Чтобы найти итоговую степень, мы складываем все показатели: 2, 2 и 2.
$n^2 \cdot n^2 \cdot n^2 = n^{2+2+2} = n^6$
Ответ: $n^6$

525 Упростите:

а) $a^2b^3a$;

б) $x^3a^2xa^5$;

в) $xx^4y^2y$;

г) $ab^2c^3a^4b^5c^6$;

д) $a^2c^4ac^{10}ac$;

е) $x^2yzx^2y^5z$.

а) Для упрощения выражения $a^2b^3a$ необходимо сгруппировать множители с одинаковыми основаниями и применить свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$). Переменная без показателя степени имеет показатель 1, то есть $a = a^1$.
Сгруппируем множители с основанием $a$: $a^2 \cdot a = a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3$.
Множитель $b^3$ остается без изменений.
В результате получаем: $a^3b^3$.
Ответ: $a^3b^3$

б) В выражении $x^3a^2xa^5$ сгруппируем множители с основаниями $a$ и $x$.
Для основания $a$: $a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7$.
Для основания $x$: $x^3 \cdot x = x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
Запишем результат, расположив переменные в алфавитном порядке: $a^7x^4$.
Ответ: $a^7x^4$

в) В выражении $xx^4y^2y$ сгруппируем множители с основаниями $x$ и $y$.
Для основания $x$: $x \cdot x^4 = x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$.
Для основания $y$: $y^2 \cdot y = y^2 \cdot y^1 = y^{2+1} = y^3$.
Объединив, получаем: $x^5y^3$.
Ответ: $x^5y^3$

г) В выражении $ab^2c^3a^4b^5c^6$ сгруппируем множители с основаниями $a$, $b$ и $c$.
Для основания $a$: $a \cdot a^4 = a^1 \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$.
Для основания $b$: $b^2 \cdot b^5 = b^{2+5} = b^7$.
Для основания $c$: $c^3 \cdot c^6 = c^{3+6} = c^9$.
Объединив результаты, получаем: $a^5b^7c^9$.
Ответ: $a^5b^7c^9$

д) В выражении $a^2c^4ac^{10}ac$ сгруппируем множители с основаниями $a$ и $c$.
Для основания $a$: $a^2 \cdot a \cdot a = a^2 \cdot a^1 \cdot a^1 = a^{2+1+1} = a^4$.
Для основания $c$: $c^4 \cdot c^{10} \cdot c = c^4 \cdot c^{10} \cdot c^1 = c^{4+10+1} = c^{15}$.
В результате получаем: $a^4c^{15}$.
Ответ: $a^4c^{15}$

е) В выражении $x^2yzx^2y^5z$ сгруппируем множители с основаниями $x$, $y$ и $z$.
Для основания $x$: $x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4$.
Для основания $y$: $y \cdot y^5 = y^1 \cdot y^5 = y^{1+5} = y^6$.
Для основания $z$: $z \cdot z = z^1 \cdot z^1 = z^{1+1} = z^2$.
Объединив результаты, получаем: $x^4y^6z^2$.
Ответ: $x^4y^6z^2$

526 Выполните умножение:

а) $a^x a^y$;

б) $x^n x^5$;

в) $y y^n$;

г) $c^n c^n$.

Для решения всех подпунктов используется правило умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. В виде формулы это выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а)

В выражении $a^x a^y$ основание степеней одинаковое и равно $a$. Показатели степеней — $x$ и $y$.

Согласно правилу умножения степеней, мы должны сложить показатели:

$a^x a^y = a^{x+y}$

Ответ: $a^{x+y}$

б)

В выражении $x^n x^5$ основание степеней одинаковое и равно $x$. Показатели степеней — $n$ и $5$.

Складываем показатели степеней:

$x^n x^5 = x^{n+5}$

Ответ: $x^{n+5}$

в)

В выражении $y y^n$ первый множитель $y$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $y = y^1$.

Теперь выражение имеет вид $y^1 y^n$. Основание степеней одинаковое и равно $y$. Показатели степеней — 1 и $n$.

Складываем показатели:

$y y^n = y^1 \cdot y^n = y^{1+n}$

Ответ: $y^{1+n}$

г)

В выражении $c^n c^n$ основание степеней одинаковое и равно $c$. Показатели степеней также одинаковы и равны $n$.

Складываем показатели степеней:

$c^n c^n = c^{n+n} = c^{2n}$

Ответ: $c^{2n}$

527 Представьте в виде степени:

а) $2^2 \cdot 2^{10}$;

б) $3^5 \cdot 3^2 \cdot 3$;

в) $5 \cdot 5^n \cdot 5^2$;

г) $2^n \cdot 2^n \cdot 2$;

д) $7^k \cdot 7^k \cdot 7^2$;

е) $10^k \cdot 10^k \cdot 10^k$.

Для решения данных задач используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число $a$ можно представить в виде степени как $a^1$.

а) В выражении $2^2 \cdot 2^{10}$ основание у степеней одинаковое и равно 2. Чтобы представить произведение в виде степени, нужно сложить показатели степеней: $2+10=12$.
$2^2 \cdot 2^{10} = 2^{2+10} = 2^{12}$.
Ответ: $2^{12}$.

б) В выражении $3^5 \cdot 3^2 \cdot 3$ основание у всех множителей одинаковое и равно 3. Множитель 3 можно представить как $3^1$. Складываем показатели степеней: $5+2+1=8$.
$3^5 \cdot 3^2 \cdot 3 = 3^{5+2+1} = 3^8$.
Ответ: $3^8$.

в) В выражении $5 \cdot 5^n \cdot 5^2$ основание у всех множителей одинаковое и равно 5. Множитель 5 можно представить как $5^1$. Складываем показатели степеней: $1+n+2 = n+3$.
$5 \cdot 5^n \cdot 5^2 = 5^{1+n+2} = 5^{n+3}$.
Ответ: $5^{n+3}$.

г) В выражении $2^n \cdot 2^n \cdot 2$ основание у всех множителей одинаковое и равно 2. Множитель 2 можно представить как $2^1$. Складываем показатели степеней: $n+n+1 = 2n+1$.
$2^n \cdot 2^n \cdot 2 = 2^{n+n+1} = 2^{2n+1}$.
Ответ: $2^{2n+1}$.

д) В выражении $7^k \cdot 7^k \cdot 7^2$ основание у всех множителей одинаковое и равно 7. Складываем показатели степеней: $k+k+2 = 2k+2$.
$7^k \cdot 7^k \cdot 7^2 = 7^{k+k+2} = 7^{2k+2}$.
Ответ: $7^{2k+2}$.

е) В выражении $10^k \cdot 10^k \cdot 10^k$ основание у всех множителей одинаковое и равно 10. Складываем показатели степеней: $k+k+k = 3k$.
$10^k \cdot 10^k \cdot 10^k = 10^{k+k+k} = 10^{3k}$.
Ответ: $10^{3k}$.

528 Упростите выражение:

а) $ (-x) \cdot x^2; $

б) $ (-x)^2 \cdot x; $

в) $ (-x) \cdot (-x^2); $

г) $ (-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x); $

д) $ -x^2 \cdot (-x)^2 \cdot x; $

е) $ -(-x)^2 \cdot (-x) \cdot x. $

а) Чтобы упростить выражение $(-x) \cdot x^2$, заметим, что $(-x)$ это то же самое, что и $-1 \cdot x$. Таким образом, выражение можно переписать как $-1 \cdot x \cdot x^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. В данном случае $x$ — это $x^1$, поэтому $x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$. В итоге получаем $-1 \cdot x^3 = -x^3$.

Ответ: $-x^3$

б) В выражении $(-x)^2 \cdot x$ первым действием является возведение в степень. Выражение $(-x)$ в квадрате означает $(-x) \cdot (-x)$. Произведение двух отрицательных сомножителей положительно, а $x \cdot x = x^2$. Следовательно, $(-x)^2 = x^2$. Теперь исходное выражение принимает вид $x^2 \cdot x$. Применяя правило умножения степеней, получаем $x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.

Ответ: $x^3$

в) Выражение $(-x) \cdot (-x^2)$ представляет собой произведение двух отрицательных множителей. Результат такого произведения всегда положителен. Таким образом, $(-x) \cdot (-x^2) = x \cdot x^2$. Складываем показатели степеней при одинаковом основании $x$: $x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.

Ответ: $x^3$

г) В выражении $(-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x)$ мы имеем произведение трех отрицательных множителей. Поскольку количество отрицательных множителей нечетное (три), результат будет отрицательным. Таким образом, $(-x) \cdot (-x^2) \cdot (-x) = -(x \cdot x^2 \cdot x)$. Теперь перемножим степени переменной $x$: $x^1 \cdot x^2 \cdot x^1 = x^{1+2+1} = x^4$. Окончательный результат: $-x^4$.

Ответ: $-x^4$

д) Рассмотрим выражение $-x^2 \cdot (-x)^2 \cdot x$. В первую очередь упростим множитель $(-x)^2$. Как мы уже знаем из пункта б), $(-x)^2 = x^2$. Подставим это значение в выражение: $-x^2 \cdot x^2 \cdot x$. Теперь у нас есть один знак минус перед всем произведением, поэтому результат будет отрицательным. Перемножим степени $x$: $x^2 \cdot x^2 \cdot x^1 = x^{2+2+1} = x^5$. В итоге получаем $-x^5$.

Ответ: $-x^5$

е) Для упрощения выражения $-(-x)^2 \cdot (-x) \cdot x$ выполним действия по порядку. Сначала возведение в степень: $(-x)^2 = x^2$. Выражение принимает вид $-(x^2) \cdot (-x) \cdot x$. Теперь у нас есть два знака минус: один перед скобкой $(x^2)$ и один в множителе $(-x)$. Произведение двух отрицательных величин дает положительную, поэтому $-(x^2) \cdot (-x) = x^2 \cdot x = x^3$. Умножим полученный результат на оставшийся множитель $x$: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$.

Ответ: $x^4$

529 Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) $\frac{m^9}{m^2};$

б) $\frac{n^{10}}{n^9};$

в) $\frac{c^5}{c};$

г) $\frac{p^{10}}{p^2};$

д) $\frac{a^{18}}{a^8};$

е) $\frac{b^{43}}{b};$

ж) $\frac{y^{30}}{y^{24}};$

з) $\frac{z^{34}}{z^{33}}.$

Для решения данных задач используется свойство частного степеней с одинаковым основанием. Это свойство гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула этого свойства выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, где $a \neq 0$, а $m$ и $n$ — натуральные числа.

а)
В выражении $\frac{m^9}{m^2}$ основание степени равно $m$. Чтобы упростить его, вычитаем показатель степени знаменателя (2) из показателя степени числителя (9):
$\frac{m^9}{m^2} = m^{9-2} = m^7$.
Ответ: $m^7$.

б)
В выражении $\frac{n^{10}}{n^9}$ основание степени равно $n$. Вычитаем показатель степени знаменателя (9) из показателя степени числителя (10):
$\frac{n^{10}}{n^9} = n^{10-9} = n^1 = n$.
Ответ: $n$.

в)
В выражении $\frac{c^5}{c}$ основание степени равно $c$. Следует помнить, что любое число или переменная без указания степени имеет степень 1, то есть $c = c^1$. Вычитаем показатель 1 из показателя 5:
$\frac{c^5}{c} = \frac{c^5}{c^1} = c^{5-1} = c^4$.
Ответ: $c^4$.

г)
В выражении $\frac{p^{10}}{p^2}$ основание степени равно $p$. Вычитаем показатель степени знаменателя (2) из показателя степени числителя (10):
$\frac{p^{10}}{p^2} = p^{10-2} = p^8$.
Ответ: $p^8$.

д)
В выражении $\frac{a^{18}}{a^8}$ основание степени равно $a$. Вычитаем показатель степени знаменателя (8) из показателя степени числителя (18):
$\frac{a^{18}}{a^8} = a^{18-8} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

е)
В выражении $\frac{b^{43}}{b}$ основание степени равно $b$. Так как $b = b^1$, вычитаем показатель 1 из показателя 43:
$\frac{b^{43}}{b} = \frac{b^{43}}{b^1} = b^{43-1} = b^{42}$.
Ответ: $b^{42}$.

ж)
В выражении $\frac{y^{30}}{y^{24}}$ основание степени равно $y$. Вычитаем показатель степени знаменателя (24) из показателя степени числителя (30):
$\frac{y^{30}}{y^{24}} = y^{30-24} = y^6$.
Ответ: $y^6$.

з)
В выражении $\frac{z^{34}}{z^{33}}$ основание степени равно $z$. Вычитаем показатель степени знаменателя (33) из показателя степени числителя (34):
$\frac{z^{34}}{z^{33}} = z^{34-33} = z^1 = z$.
Ответ: $z$.