Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения степени в степень. Упростите выражения: $(a^6)^5$; $(a^{10})^2$.

Запишите в буквенном виде правило возведения степени в степень

Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо следующее равенство (тождество):

$(a^m)^n = a^{mn}$

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сформулируйте правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить без изменения, а показатели степеней перемножить.

Ответ: Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить без изменения, а показатели степеней перемножить.

Упростите выражения: $(a^6)^5$; $(a^{10})^2$

Для упрощения данных выражений воспользуемся сформулированным выше правилом возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

1. Упростим выражение $(a^6)^5$.

Основание $a$ оставляем без изменений, а показатели степеней $6$ и $5$ перемножаем:

$(a^6)^5 = a^{6 \cdot 5} = a^{30}$

2. Упростим выражение $(a^{10})^2$.

Аналогично, основание $a$ оставляем без изменений, а показатели степеней $10$ и $2$ перемножаем:

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$

Ответ: $a^{30}$; $a^{20}$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения произведения в степень. Упростите выражение $(-2xy^3)^2$. Вычислите $0,5^5 \cdot 20^5$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения произведения в степень.

Правило возведения произведения в степень в буквенном виде записывается следующей формулой:
$(ab)^n = a^n b^n$
Словесная формулировка правила: чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из множителей и полученные результаты перемножить.

Ответ: Формула: $(ab)^n = a^n b^n$. Правило: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Упростите выражение $(-2xy^3)^2$.

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся правилом возведения произведения в степень. Для этого каждый множитель в скобках необходимо возвести во вторую степень:
$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2$
Теперь вычислим значение каждого компонента:
$(-2)^2 = 4$
При возведении степени в степень, как в случае $(y^3)^2$, их показатели перемножаются: $y^{3 \cdot 2} = y^6$.
Собираем все части вместе:
$4 \cdot x^2 \cdot y^6 = 4x^2y^6$

Ответ: $4x^2y^6$.

Вычислите $0,5^5 \cdot 20^5$.

В этом выражении мы имеем произведение двух чисел, возведенных в одинаковую степень. Здесь можно применить правило возведения произведения в степень в обратном порядке: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$0,5^5 \cdot 20^5 = (0,5 \cdot 20)^5$
Сначала выполним умножение в скобках:
$0,5 \cdot 20 = 10$
Теперь возведем полученное число в пятую степень:
$10^5 = 100000$

Ответ: $100000$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения дроби в степень. Выполните возведение в степень $(\frac{a}{3})^4$. Вычислите $\frac{24^5}{12^5}$.

Запишите в буквенном виде и сформулируйте правило возведения дроби в степень.

В буквенном виде правило возведения дроби в степень записывается так: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.

Формулировка правила: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель.

Ответ: В буквенном виде: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$). Правило: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель.

Выполните возведение в степень $(\frac{a}{3})^4$.

Для решения применим правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

В нашем случае основание дроби равно $\frac{a}{3}$, а показатель степени равен $4$.

Возводим в степень числитель и знаменатель отдельно:

$(\frac{a}{3})^4 = \frac{a^4}{3^4}$

Теперь вычислим знаменатель: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Итоговый результат: $\frac{a^4}{81}$.

Ответ: $\frac{a^4}{81}$.

Вычислите $\frac{24^5}{12^5}$.

Для вычисления этого выражения используется свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{24^5}{12^5} = (\frac{24}{12})^5$

Сначала упростим дробь в скобках:

$\frac{24}{12} = 2$

Теперь осталось возвести 2 в 5-ю степень:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Ответ: $32$.

Упростите выражение $\left(-\frac{2}{a}\right)^5$ (в качестве образца используйте пример 3).

Для упрощения выражения $(-\frac{2}{a})^5$ необходимо возвести в пятую степень и числитель, и знаменатель дроби, учитывая свойство степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(-\frac{2}{a})^5 = \frac{(-2)^5}{a^5}$

Так как показатель степени 5 является нечетным числом, при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет отрицательным.

Вычислим числитель: $(-2)^5 = -2 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Знаменатель останется $a^5$.

Подставив полученные значения обратно в дробь, получим: $\frac{-32}{a^5} = -\frac{32}{a^5}$.

Ответ: $-\frac{32}{a^5}$

557 Выполните действие:

а) $(y^5)^3$;

б) $(c^{12})^2$;

в) $(n^8)^3$;

г) $(b^{10})^{10}$;

д) $2(a^3)^5$;

е) $0.3(x^2)^7$;

ж) $-4(y^4)^2$;

з) $-(c^6)^2$.

а) При возведении степени в степень, согласно свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, основание остается прежним, а показатели перемножаются. Таким образом, $(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$. Ответ: $y^{15}$

б) Аналогично, применяем свойство возведения степени в степень: $(c^{12})^2 = c^{12 \cdot 2} = c^{24}$. Ответ: $c^{24}$

в) Выполняем умножение показателей степеней: $(n^8)^3 = n^{8 \cdot 3} = n^{24}$. Ответ: $n^{24}$

г) Перемножаем показатели $10$ и $10$: $(b^{10})^{10} = b^{10 \cdot 10} = b^{100}$. Ответ: $b^{100}$

д) В данном выражении сначала возводим степень в степень, а затем умножаем на коэффициент $2$: $2(a^3)^5 = 2 \cdot a^{3 \cdot 5} = 2a^{15}$. Ответ: $2a^{15}$

е) Упрощаем степенное выражение и затем умножаем на коэффициент $0,3$: $0,3(x^2)^7 = 0,3 \cdot x^{2 \cdot 7} = 0,3x^{14}$. Ответ: $0,3x^{14}$

ж) Сначала возводим $(y^4)$ в квадрат, а потом умножаем на коэффициент $-4$: $-4(y^4)^2 = -4 \cdot y^{4 \cdot 2} = -4y^8$. Ответ: $-4y^8$

з) Выполняем возведение степени в степень, при этом знак минус, стоящий перед скобками, сохраняется: $-(c^6)^2 = -(c^{6 \cdot 2}) = -c^{12}$. Ответ: $-c^{12}$

558 Возведите в квадрат и в куб выражение:

а) $2^2$, $(-2)^2$, $-2^2$;

б) $2^3$, $(-2)^3$, $-2^3$.

а) Возведем в квадрат и в куб каждое из выражений: $2^2$, $(-2)^2$, $-2^2$.

Для каждого выражения сначала вычислим его начальное значение, а затем возведем результат в квадрат (вторую степень) и в куб (третью степень).

Для выражения $2^2$:
Начальное значение: $2^2 = 4$.
Возведение в квадрат: $(2^2)^2 = 4^2 = 16$.
Возведение в куб: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$.

Для выражения $(-2)^2$:
Начальное значение: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
Возведение в квадрат: $((-2)^2)^2 = 4^2 = 16$.
Возведение в куб: $((-2)^2)^3 = 4^3 = 64$.

Для выражения $-2^2$:
Начальное значение: $-2^2 = -(2^2) = -4$. (Порядок операций: сначала возведение в степень, затем унарный минус).
Возведение в квадрат: $(-2^2)^2 = (-4)^2 = 16$.
Возведение в куб: $(-2^2)^3 = (-4)^3 = -64$.

Ответ: для выражений $2^2$ и $(-2)^2$ квадрат равен $16$, а куб равен $64$; для выражения $-2^2$ квадрат равен $16$, а куб равен $-64$.

б) Возведем в квадрат и в куб каждое из выражений: $2^3$, $(-2)^3$, $-2^3$.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

Для выражения $2^3$:
Начальное значение: $2^3 = 8$.
Возведение в квадрат: $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.
Возведение в куб: $(2^3)^3 = 8^3 = 512$.

Для выражения $(-2)^3$:
Начальное значение: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Возведение в квадрат: $((-2)^3)^2 = (-8)^2 = 64$.
Возведение в куб: $((-2)^3)^3 = (-8)^3 = -512$.

Для выражения $-2^3$:
Начальное значение: $-2^3 = -(2^3) = -8$.
Возведение в квадрат: $(-2^3)^2 = (-8)^2 = 64$.
Возведение в куб: $(-2^3)^3 = (-8)^3 = -512$.

Ответ: для выражения $2^3$ квадрат равен $64$, а куб равен $512$; для выражений $(-2)^3$ и $-2^3$ квадрат равен $64$, а куб равен $-512$.

559 Представьте выражение в виде степени с основанием n:

a) $n^5n^2$, $n^5 : n^2$, $(n^5)^2$, $(n^2)^5$;

б) $(n^k)^2$, $n^kn^2$, $n^k : n^2$, $(n^2)^k$.

а) Для решения данной задачи воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^p = a^{m+p}$
• Частное степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^p = a^{m-p}$
• Возведение степени в степень: $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$

Применим эти правила к каждому выражению:

Для выражения $n^5 n^2$ (произведение степеней), складываем показатели:
$n^5 n^2 = n^{5+2} = n^7$.
Ответ: $n^7$.

Для выражения $n^5 : n^2$ (деление степеней), вычитаем показатели:
$n^5 : n^2 = n^{5-2} = n^3$.
Ответ: $n^3$.

Для выражения $(n^5)^2$ (возведение степени в степень), перемножаем показатели:
$(n^5)^2 = n^{5 \cdot 2} = n^{10}$.
Ответ: $n^{10}$.

Для выражения $(n^2)^5$ (возведение степени в степень), также перемножаем показатели:
$(n^2)^5 = n^{2 \cdot 5} = n^{10}$.
Ответ: $n^{10}$.

б) Используем те же свойства степеней, что и в пункте а).

Для выражения $(n^k)^2$ (возведение степени в степень), перемножаем показатели:
$(n^k)^2 = n^{k \cdot 2} = n^{2k}$.
Ответ: $n^{2k}$.

Для выражения $n^k n^2$ (произведение степеней), складываем показатели:
$n^k n^2 = n^{k+2}$.
Ответ: $n^{k+2}$.

Для выражения $n^k : n^2$ (деление степеней), вычитаем показатели:
$n^k : n^2 = n^{k-2}$.
Ответ: $n^{k-2}$.

Для выражения $(n^2)^k$ (возведение степени в степень), перемножаем показатели:
$(n^2)^k = n^{2 \cdot k} = n^{2k}$.
Ответ: $n^{2k}$.