Страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

530 Выполните деление:

а) $a^7 : a^2$;

б) $b^{10} : b^5$;

в) $c^{30} : c^{10}$;

г) $x^{12} : x^4$;

д) $m^{50} : m^2$;

е) $y^{100} : y^{10}$.

Для выполнения деления степеней с одинаковым основанием используется следующее свойство: чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить тем же, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство записывается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$, где $a \ne 0$.

а) $a^7 : a^2$

Используя указанное свойство деления степеней, вычитаем показатели:

$a^7 : a^2 = a^{7-2} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

б) $b^{10} : b^5$

Применяем то же правило для основания $b$:

$b^{10} : b^5 = b^{10-5} = b^5$.

Ответ: $b^5$.

в) $c^{30} : c^{10}$

Выполняем вычитание показателей степеней при одинаковом основании $c$:

$c^{30} : c^{10} = c^{30-10} = c^{20}$.

Ответ: $c^{20}$.

г) $x^{12} : x^4$

Выполняем вычитание показателей степеней при одинаковом основании $x$:

$x^{12} : x^4 = x^{12-4} = x^8$.

Ответ: $x^8$.

д) $m^{50} : m^2$

Применяем свойство деления степеней для основания $m$:

$m^{50} : m^2 = m^{50-2} = m^{48}$.

Ответ: $m^{48}$.

е) $y^{100} : y^{10}$

Вычитаем показатели степеней для основания $y$:

$y^{100} : y^{10} = y^{100-10} = y^{90}$.

Ответ: $y^{90}$.

531 Какие из данных дробей равны выражению $a^5$?

1) $\frac{a^{10}}{a^2}$

2) $\frac{a^{10}}{a^5}$

3) $\frac{a^{10}}{b^2}$

4) $\frac{a^{10}}{b^5}$

Для того чтобы определить, какая из дробей равна выражению $a^5$, необходимо упростить каждую из предложенных дробей, используя свойства степеней.

Основное свойство, которое понадобится для решения, — это правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

1) $\frac{a^{10}}{a^2}$

В этой дроби основания степеней в числителе и знаменателе одинаковы и равны 'a'. Применим правило деления степеней, вычитая из показателя степени числителя показатель степени знаменателя:

$\frac{a^{10}}{a^2} = a^{10-2} = a^8$.

Полученное выражение $a^8$ не равно $a^5$.

Ответ: не равна.

2) $\frac{a^{10}}{a^5}$

Здесь основания степеней также одинаковы ('a'). Применим то же правило:

$\frac{a^{10}}{a^5} = a^{10-5} = a^5$.

Полученное выражение $a^5$ полностью совпадает с искомым выражением.

Ответ: равна.

3) $\frac{a^{10}}{b^2}$

В данной дроби основания степеней в числителе ('a') и знаменателе ('b') различны. Это означает, что правило деления степеней с одинаковым основанием здесь применить нельзя. Если переменные $a$ и $b$ не связаны между собой, то дальнейшее упрощение дроби невозможно. Следовательно, это выражение не равно $a^5$.

Ответ: не равна.

4) $\frac{a^{10}}{b^5}$

Аналогично предыдущему пункту, основания степеней ('a' и 'b') различны. Упростить данную дробь, используя свойства степеней, нельзя. Выражение не равно $a^5$.

Ответ: не равна.

532 Чему равно значение выражения:

а) $ \frac{10^{23}}{10^{20}} $;

б) $ \frac{2^{31}}{2^{27}} $;

в) $ \frac{10^{17}}{10^{20}} $;

г) $ \frac{6^{112}}{6^{114}} $;

д) $ \frac{5^4}{5^8} $;

е) $ \frac{2^{100}}{2^{105}} $?

а) Для нахождения значения выражения используем свойство частного степеней с одинаковым основанием: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. В данном случае основание $ a = 10 $, показатель делимого $ m = 23 $, а показатель делителя $ n = 20 $.
$ \frac{10^{23}}{10^{20}} = 10^{23-20} = 10^3 = 1000 $.
Ответ: 1000

б) Применяем то же свойство степеней: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Здесь $ a = 2 $, $ m = 31 $, $ n = 27 $.
$ \frac{2^{31}}{2^{27}} = 2^{31-27} = 2^4 = 16 $.
Ответ: 16

в) Используем свойство частного степеней: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. В этом примере $ a = 10 $, $ m = 17 $, $ n = 20 $.
$ \frac{10^{17}}{10^{20}} = 10^{17-20} = 10^{-3} $.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
$ 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001 $.
Ответ: 0,001

г) Снова применяем свойство частного степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Здесь $ a = 6 $, $ m = 112 $, $ n = 114 $.
$ \frac{6^{112}}{6^{114}} = 6^{112-114} = 6^{-2} $.
По свойству степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ 6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} $.
Ответ: $ \frac{1}{36} $

д) Используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. В данном случае $ a = 5 $, $ m = 4 $, $ n = 8 $.
$ \frac{5^4}{5^8} = 5^{4-8} = 5^{-4} $.
Применяя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:
$ 5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625} $.
Ответ: $ \frac{1}{625} $

е) Применяем свойство частного степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Здесь $ a = 2 $, $ m = 100 $, $ n = 105 $.
$ \frac{2^{100}}{2^{105}} = 2^{100-105} = 2^{-5} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, находим:
$ 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $.
Ответ: $ \frac{1}{32} $

533 Во сколько раз $6^{12}$ больше, чем $6^{10}$? $5^{118}$ меньше, чем $5^{121}$?

Во сколько раз $6^{12}$ больше, чем $6^{10}$?
Чтобы определить, во сколько раз одно число больше другого, необходимо разделить большее число на меньшее. В данном случае найдем частное от деления $6^{12}$ на $6^{10}$.
Воспользуемся свойством степеней, согласно которому при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Применяя это правило, получаем:
$\frac{6^{12}}{6^{10}} = 6^{12-10} = 6^2$
Теперь вычислим значение $6^2$:
$6^2 = 36$
Ответ: в 36 раз.

Во сколько раз $5^{118}$ меньше, чем $5^{121}$?
Вопрос "во сколько раз число A меньше числа B" эквивалентен вопросу "во сколько раз число B больше числа A". Чтобы найти ответ, нужно разделить большее число ($5^{121}$) на меньшее ($5^{118}$).
Используем то же свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Выполним вычисления:
$\frac{5^{121}}{5^{118}} = 5^{121-118} = 5^3$
Теперь вычислим значение $5^3$:
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
Ответ: в 125 раз.

534 Выполните деление:

а) $\frac{x^n}{x^2}$;

б) $x^{n+2} : x^2$;

в) $\frac{x^{n+1}}{x^n}$;

г) $x^n : x$.

а) Для выполнения деления степеней с одинаковым основанием $x$ необходимо из показателя степени делимого $n$ вычесть показатель степени делителя $2$. Правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$.
Применим это правило:
$\frac{x^n}{x^2} = x^{n-2}$
Ответ: $x^{n-2}$

б) В данном выражении мы также делим степени с одинаковым основанием. Показатель степени делимого равен $n+2$, а показатель степени делителя равен $2$.
$x^{n+2} : x^2 = x^{(n+2) - 2} = x^{n+2-2} = x^n$
Ответ: $x^n$

в) Выполним деление, вычитая из показателя степени числителя $n+1$ показатель степени знаменателя $n$.
$\frac{x^{n+1}}{x^n} = x^{(n+1) - n} = x^{n+1-n} = x^1 = x$
Ответ: $x$

г) В этом выражении необходимо разделить $x^n$ на $x$. Следует помнить, что любое число или переменная без указания степени имеет степень $1$, то есть $x = x^1$.
$x^n : x = x^n : x^1 = x^{n-1}$
Ответ: $x^{n-1}$

535 Упростите выражение:

a) $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$;

Б) $\frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}}$;

В) $\frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8}$;

Г) $\frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}}$;

Д) $\frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4}$;

е) $\frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3}$.

Для упрощения данных выражений используются свойства степеней с одинаковым основанием:

• При умножении степеней их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
• Переменная без показателя степени эквивалентна переменной в первой степени: $a = a^1$.

а) $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней: $x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13}$.

Теперь разделим полученный результат на знаменатель, используя правило деления степеней: $\frac{x^{13}}{x^3} = x^{13-3} = x^{10}$.

Ответ: $x^{10}$

б) $\frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}}$

Упростим числитель, сложив показатели степеней: $a^{90} \cdot a^{10} = a^{90+10} = a^{100}$.

Выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя: $\frac{a^{100}}{a^{50}} = a^{100-50} = a^{50}$.

Ответ: $a^{50}$

в) $\frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8}$

Сначала упростим знаменатель, сложив показатели степеней: $m^8 \cdot m^8 = m^{8+8} = m^{16}$.

Теперь разделим числитель на полученный знаменатель: $\frac{m^{20}}{m^{16}} = m^{20-16} = m^4$.

Ответ: $m^4$

г) $\frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}}$

Упростим знаменатель, сложив показатели степеней: $y^{15} \cdot y^{10} = y^{15+10} = y^{25}$.

Выполним деление: $\frac{y^{30}}{y^{25}} = y^{30-25} = y^5$.

Ответ: $y^5$

д) $\frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4}$

Упростим числитель. Помним, что $b = b^1$: $b^3 \cdot b^1 \cdot b^7 = b^{3+1+7} = b^{11}$.

Упростим знаменатель: $b^5 \cdot b^4 = b^{5+4} = b^9$.

Выполним деление полученных выражений: $\frac{b^{11}}{b^9} = b^{11-9} = b^2$.

Ответ: $b^2$

е) $\frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3}$

Упростим числитель, сложив показатели: $c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6 = c^{12+2+6} = c^{20}$.

Упростим знаменатель. Помним, что $c = c^1$: $c^1 \cdot c^{10} \cdot c^3 = c^{1+10+3} = c^{14}$.

Выполним деление: $\frac{c^{20}}{c^{14}} = c^{20-14} = c^6$.

Ответ: $c^6$

536 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{3^{10} \cdot 3^5}{3^{12}} \text{;}$

б) $\frac{2^{17}}{2^9 \cdot 2^3} \text{;}$

в) $\frac{5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16}}{5^7 \cdot 5^{10}} \text{;}$

г) $\frac{10^8 \cdot 10^6}{10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5} \text{.}$

а) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{10} \cdot 3^5 = 3^{10+5} = 3^{15}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{3^{15}}{3^{12}}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{15}}{3^{12}} = 3^{15-12} = 3^3$

Вычислим полученное значение:

$3^3 = 27$

Ответ: $27$

б) Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^3 = 2^{9+3} = 2^{12}$

Теперь всё выражение выглядит так:

$\frac{2^{17}}{2^{12}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{17}}{2^{12}} = 2^{17-12} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: $32$

в) Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Обратим внимание, что $5$ это $5^1$.

Числитель: $5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16} = 5^2 \cdot 5^1 \cdot 5^{16} = 5^{2+1+16} = 5^{19}$

Знаменатель: $5^7 \cdot 5^{10} = 5^{7+10} = 5^{17}$

Теперь разделим полученные степени, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{19}}{5^{17}} = 5^{19-17} = 5^2$

Вычислим конечное значение:

$5^2 = 25$

Ответ: $25$

г) Упростим числитель и знаменатель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $10^8 \cdot 10^6 = 10^{8+6} = 10^{14}$

Знаменатель: $10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5 = 10^{2+5+5} = 10^{12}$

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{10^{14}}{10^{12}}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{14}}{10^{12}} = 10^{14-12} = 10^2$

Вычислим результат:

$10^2 = 100$

Ответ: $100$

537 При каком значении $k$ верно равенство:

а) $a^8 \cdot a^k = a^{12};$

б) $a^{20} = a^k \cdot a^{10};$

в) $x^{15} : x^k = x^{10};$

г) $x^k : x^8 = x^3;$

д) $25 \cdot 5^6 = 5^k;$

е) $36 \cdot 6^k = 6^8?$

а) В данном равенстве $a^8 \cdot a^k = a^{12}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применим это свойство к левой части уравнения: $a^8 \cdot a^k = a^{8+k}$. Таким образом, мы получаем уравнение $a^{8+k} = a^{12}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $8+k = 12$. Решая это линейное уравнение, находим $k$: $k = 12 - 8 = 4$.
Ответ: $k=4$.

б) В уравнении $a^{20} = a^k \cdot a^{10}$ мы также используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Правая часть уравнения преобразуется к виду $a^k \cdot a^{10} = a^{k+10}$. Получаем равенство: $a^{20} = a^{k+10}$. Приравниваем показатели степеней: $20 = k+10$. Отсюда находим $k$: $k = 20 - 10 = 10$.
Ответ: $k=10$.

в) Для решения уравнения $x^{15} : x^k = x^{10}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Преобразуем левую часть: $x^{15} : x^k = x^{15-k}$. Теперь уравнение выглядит так: $x^{15-k} = x^{10}$. Приравниваем показатели степеней: $15-k = 10$. Решаем уравнение относительно $k$: $k = 15 - 10 = 5$.
Ответ: $k=5$.

г) В уравнении $x^k : x^8 = x^3$ применяется то же свойство деления степеней. Левая часть равна $x^k : x^8 = x^{k-8}$. Получаем равенство $x^{k-8} = x^3$. Приравнивая показатели, получаем: $k-8 = 3$. Отсюда $k = 3 + 8 = 11$.
Ответ: $k=11$.

д) В равенстве $25 \cdot 5^6 = 5^k$ необходимо привести все множители в левой части к одному основанию, в данном случае к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Подставим это значение в уравнение: $5^2 \cdot 5^6 = 5^k$. Теперь используем свойство умножения степеней: $5^{2+6} = 5^k$, что дает нам $5^8 = 5^k$. Приравнивая показатели, получаем $k=8$.
Ответ: $k=8$.

е) Для решения уравнения $36 \cdot 6^k = 6^8$ приведем число 36 к степени с основанием 6. Так как $36 = 6^2$, уравнение можно переписать в виде $6^2 \cdot 6^k = 6^8$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: $6^{2+k} = 6^8$. Теперь мы можем приравнять показатели степеней: $2+k = 8$. Решая это уравнение, находим $k$: $k = 8 - 2 = 6$.
Ответ: $k=6$.

538 a) Зная, что $2^{10} = 1024$, найдите: $2^{12}$; $2^8$.

б) Зная, что $5^7 = 78125$, найдите: $5^5$; $5^8$.

а) Нам дано значение $2^{10} = 1024$. Для нахождения $2^{12}$ и $2^8$ воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($a^m / a^n = a^{m-n}$).
Чтобы найти $2^{12}$, мы можем представить $12$ как $10 + 2$. Таким образом:
$2^{12} = 2^{10+2} = 2^{10} \cdot 2^2$
Подставляем известные значения $2^{10}=1024$ и $2^2=4$:
$2^{12} = 1024 \cdot 4 = 4096$.
Чтобы найти $2^8$, мы можем представить $8$ как $10 - 2$. Таким образом:
$2^8 = 2^{10-2} = 2^{10} / 2^2$
Подставляем известные значения:
$2^8 = 1024 / 4 = 256$.
Ответ: $2^{12} = 4096$; $2^8 = 256$.

б) Нам дано значение $5^7 = 78125$. Используем те же свойства степеней.
Чтобы найти $5^5$, мы представим показатель $5$ как $7 - 2$. Таким образом:
$5^5 = 5^{7-2} = 5^7 / 5^2$
Подставляем известные значения $5^7=78125$ и $5^2=25$:
$5^5 = 78125 / 25 = 3125$.
Чтобы найти $5^8$, мы представим показатель $8$ как $7 + 1$. Таким образом:
$5^8 = 5^{7+1} = 5^7 \cdot 5^1$
Подставляем известные значения $5^7=78125$ и $5^1=5$:
$5^8 = 78125 \cdot 5 = 390625$.
Ответ: $5^5 = 3125$; $5^8 = 390625$.

539 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения:

а) $(1.3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2);$

б) $(2.4 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^3);$

в) $\frac{3.2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6};$

г) $\frac{56 \cdot 10^{27}}{2.8 \cdot 10^{25}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $(1,3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2)$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, а также свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Сгруппируем множители:

$(1,3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2) = (1,3 \cdot 5) \cdot (10^3 \cdot 10^2)$

Вычислим произведение чисел:

$1,3 \cdot 5 = 6,5$

Вычислим произведение степеней, сложив их показатели:

$10^3 \cdot 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$

Теперь перемножим полученные результаты:

$6,5 \cdot 10^5 = 6,5 \cdot 100000 = 650000$

Ответ: $650000$.

б) Чтобы найти значение выражения $(2,4 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^3)$, применим тот же подход. Сгруппируем множители:

$(2,4 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^3) = (2,4 \cdot 3) \cdot (10^3 \cdot 10^3)$

Вычислим произведение чисел:

$2,4 \cdot 3 = 7,2$

Вычислим произведение степеней:

$10^3 \cdot 10^3 = 10^{3+3} = 10^6$

Перемножим результаты:

$7,2 \cdot 10^6 = 7,2 \cdot 1000000 = 7200000$

Ответ: $7200000$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{3,2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6}$, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Разделим выражение на две части: частное чисел и частное степеней.

$\frac{3,2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6} = \frac{3,2}{2} \cdot \frac{10^9}{10^6}$

Вычислим частное чисел:

$\frac{3,2}{2} = 1,6$

Вычислим частное степеней, вычтя их показатели:

$\frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3$

Перемножим полученные результаты:

$1,6 \cdot 10^3 = 1,6 \cdot 1000 = 1600$

Ответ: $1600$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{56 \cdot 10^{27}}{2,8 \cdot 10^{25}}$, поступим аналогично предыдущему пункту. Разделим выражение на две части:

$\frac{56 \cdot 10^{27}}{2,8 \cdot 10^{25}} = \frac{56}{2,8} \cdot \frac{10^{27}}{10^{25}}$

Вычислим частное чисел. Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{56}{2,8} = \frac{560}{28} = 20$

Вычислим частное степеней:

$\frac{10^{27}}{10^{25}} = 10^{27-25} = 10^2$

Перемножим результаты:

$20 \cdot 10^2 = 20 \cdot 100 = 2000$

Ответ: $2000$.

540 Упростите произведение:

а) $3a^3 \cdot 7a^2;$

б) $b^4 \cdot 5b^8;$

в) $9x \cdot (-4x^5);$

г) $(-4a^2) \cdot (-5a);$

д) $3c \cdot 5c^2 \cdot 7c^3;$

е) $y \cdot 4y^3 \cdot (-2y).$

Для упрощения произведения одночленов используется правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а показатели степеней у одинаковых переменных складываются.

а) $3a^3 \cdot 7a^2$

Чтобы упростить выражение, сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковым основанием и выполним умножение:

$(3 \cdot 7) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 21 \cdot a^{3+2} = 21a^5$.

Ответ: $21a^5$.

б) $b^4 \cdot 5b^8$

Перемножим числовые коэффициенты (коэффициент при $b^4$ равен 1) и степени с основанием $b$:

$(1 \cdot 5) \cdot (b^4 \cdot b^8) = 5 \cdot b^{4+8} = 5b^{12}$.

Ответ: $5b^{12}$.

в) $9x \cdot (-4x^5)$

Перемножим коэффициенты и переменные, помня, что $x$ это $x^1$:

$(9 \cdot (-4)) \cdot (x^1 \cdot x^5) = -36 \cdot x^{1+5} = -36x^6$.

Ответ: $-36x^6$.

г) $(-4a^2) \cdot (-5a)$

Перемножим отрицательные коэффициенты и степени с основанием $a$, помня, что $a$ это $a^1$:

$(-4 \cdot (-5)) \cdot (a^2 \cdot a^1) = 20 \cdot a^{2+1} = 20a^3$.

Ответ: $20a^3$.

д) $3c \cdot 5c^2 \cdot 7c^3$

Перемножим все три числовых коэффициента и сложим показатели всех степеней с основанием $c$ (где $c = c^1$):

$(3 \cdot 5 \cdot 7) \cdot (c^1 \cdot c^2 \cdot c^3) = 105 \cdot c^{1+2+3} = 105c^6$.

Ответ: $105c^6$.

е) $y \cdot 4y^3 \cdot (-2y)$

Перемножим коэффициенты (1, 4 и -2) и степени с основанием $y$ (где $y = y^1$):

$(1 \cdot 4 \cdot (-2)) \cdot (y^1 \cdot y^3 \cdot y^1) = -8 \cdot y^{1+3+1} = -8y^5$.

Ответ: $-8y^5$.