Номер 537, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 537, страница 166.

537 При каком значении $k$ верно равенство:

а) $a^8 \cdot a^k = a^{12};$

б) $a^{20} = a^k \cdot a^{10};$

в) $x^{15} : x^k = x^{10};$

г) $x^k : x^8 = x^3;$

д) $25 \cdot 5^6 = 5^k;$

е) $36 \cdot 6^k = 6^8?$

а) В данном равенстве $a^8 \cdot a^k = a^{12}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применим это свойство к левой части уравнения: $a^8 \cdot a^k = a^{8+k}$. Таким образом, мы получаем уравнение $a^{8+k} = a^{12}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $8+k = 12$. Решая это линейное уравнение, находим $k$: $k = 12 - 8 = 4$.
Ответ: $k=4$.

б) В уравнении $a^{20} = a^k \cdot a^{10}$ мы также используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Правая часть уравнения преобразуется к виду $a^k \cdot a^{10} = a^{k+10}$. Получаем равенство: $a^{20} = a^{k+10}$. Приравниваем показатели степеней: $20 = k+10$. Отсюда находим $k$: $k = 20 - 10 = 10$.
Ответ: $k=10$.

в) Для решения уравнения $x^{15} : x^k = x^{10}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Преобразуем левую часть: $x^{15} : x^k = x^{15-k}$. Теперь уравнение выглядит так: $x^{15-k} = x^{10}$. Приравниваем показатели степеней: $15-k = 10$. Решаем уравнение относительно $k$: $k = 15 - 10 = 5$.
Ответ: $k=5$.

г) В уравнении $x^k : x^8 = x^3$ применяется то же свойство деления степеней. Левая часть равна $x^k : x^8 = x^{k-8}$. Получаем равенство $x^{k-8} = x^3$. Приравнивая показатели, получаем: $k-8 = 3$. Отсюда $k = 3 + 8 = 11$.
Ответ: $k=11$.

д) В равенстве $25 \cdot 5^6 = 5^k$ необходимо привести все множители в левой части к одному основанию, в данном случае к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Подставим это значение в уравнение: $5^2 \cdot 5^6 = 5^k$. Теперь используем свойство умножения степеней: $5^{2+6} = 5^k$, что дает нам $5^8 = 5^k$. Приравнивая показатели, получаем $k=8$.
Ответ: $k=8$.

е) Для решения уравнения $36 \cdot 6^k = 6^8$ приведем число 36 к степени с основанием 6. Так как $36 = 6^2$, уравнение можно переписать в виде $6^2 \cdot 6^k = 6^8$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: $6^{2+k} = 6^8$. Теперь мы можем приравнять показатели степеней: $2+k = 8$. Решая это уравнение, находим $k$: $k = 8 - 2 = 6$.
Ответ: $k=6$.