Номер 536, страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 536, страница 166.

536 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{3^{10} \cdot 3^5}{3^{12}} \text{;}$

б) $\frac{2^{17}}{2^9 \cdot 2^3} \text{;}$

в) $\frac{5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16}}{5^7 \cdot 5^{10}} \text{;}$

г) $\frac{10^8 \cdot 10^6}{10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5} \text{.}$

а) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{10} \cdot 3^5 = 3^{10+5} = 3^{15}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{3^{15}}{3^{12}}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{15}}{3^{12}} = 3^{15-12} = 3^3$

Вычислим полученное значение:

$3^3 = 27$

Ответ: $27$

б) Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^3 = 2^{9+3} = 2^{12}$

Теперь всё выражение выглядит так:

$\frac{2^{17}}{2^{12}}$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{17}}{2^{12}} = 2^{17-12} = 2^5$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: $32$

в) Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Обратим внимание, что $5$ это $5^1$.

Числитель: $5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16} = 5^2 \cdot 5^1 \cdot 5^{16} = 5^{2+1+16} = 5^{19}$

Знаменатель: $5^7 \cdot 5^{10} = 5^{7+10} = 5^{17}$

Теперь разделим полученные степени, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{19}}{5^{17}} = 5^{19-17} = 5^2$

Вычислим конечное значение:

$5^2 = 25$

Ответ: $25$

г) Упростим числитель и знаменатель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель: $10^8 \cdot 10^6 = 10^{8+6} = 10^{14}$

Знаменатель: $10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5 = 10^{2+5+5} = 10^{12}$

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{10^{14}}{10^{12}}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{14}}{10^{12}} = 10^{14-12} = 10^2$

Вычислим результат:

$10^2 = 100$

Ответ: $100$