Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

571 Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба?

1) $-27a^{12}b^6$

2) $a^{18}b^{24}$

3) $-25a^8b^{10}$

4) $0,04a^{20}b^6$

Для того чтобы определить, какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба, проанализируем каждое из них на соответствие следующим правилам:

- Выражение является квадратом, если его числовой коэффициент — это неотрицательное число, являющееся полным квадратом, а показатели степени всех его переменных — четные числа (делятся на 2 без остатка).
- Выражение является кубом, если его числовой коэффициент — это число, являющееся полным кубом, а показатели степени всех его переменных делятся на 3 без остатка.

1) $-27a^{12}b^6$

Это выражение не может быть представлено в виде квадрата, так как его коэффициент $-27$ отрицательный.
Однако его можно представить в виде куба. Коэффициент $-27$ является кубом числа $-3$ (так как $(-3)^3 = -27$). Показатели степеней $12$ и $6$ оба делятся на $3$ ($12:3=4$ и $6:3=2$).
Следовательно, $-27a^{12}b^6 = (-3a^4b^2)^3$.
Ответ: выражение можно представить в виде куба.

2) $a^{18}b^{24}$

Это выражение можно представить в виде квадрата. Коэффициент $1$ является квадратом ($1^2=1$), а показатели степеней $18$ и $24$ делятся на $2$ ($18:2=9$ и $24:2=12$).
$a^{18}b^{24} = (a^9b^{12})^2$.
Также это выражение можно представить в виде куба. Коэффициент $1$ является кубом ($1^3=1$), а показатели степеней $18$ и $24$ делятся на $3$ ($18:3=6$ и $24:3=8$).
$a^{18}b^{24} = (a^6b^8)^3$.
Ответ: выражение можно представить и в виде квадрата, и в виде куба.

3) $-25a^8b^{10}$

Это выражение не может быть представлено в виде квадрата, так как его коэффициент $-25$ отрицательный.
Оно также не может быть представлено в виде куба. Коэффициент $-25$ не является полным кубом (ближайшие кубы: $(-2)^3=-8$, $(-3)^3=-27$). Кроме того, показатели степеней $8$ и $10$ не делятся на $3$.
Ответ: выражение нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба.

4) $0,04a^{20}b^6$

Это выражение можно представить в виде квадрата. Коэффициент $0,04$ является квадратом числа $0,2$ ($0,2^2=0,04$), а показатели степеней $20$ и $6$ делятся на $2$ ($20:2=10$ и $6:2=3$).
$0,04a^{20}b^6 = (0,2a^{10}b^3)^2$.
Однако его нельзя представить в виде куба, так как коэффициент $0,04$ не является полным кубом, и показатель степени $20$ не делится на $3$.
Ответ: выражение можно представить в виде квадрата.

572 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните возведение в степень:

а) $(\frac{x}{y})^{10}$;

б) $(\frac{a}{7})^2$;

в) $(\frac{2}{c})^4$;

г) $(-\frac{1}{c})^4$;

д) $(-\frac{x}{3})^3$.

а) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби по правилу $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $.
Применяя это правило, получаем:
$ \left(\frac{x}{y}\right)^{10} = \frac{x^{10}}{y^{10}} $.
Ответ: $ \frac{x^{10}}{y^{10}} $

б) Используя то же правило, возводим числитель $ a $ и знаменатель 7 в квадрат.
$ \left(\frac{a}{7}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{7^{2}} = \frac{a^{2}}{49} $.
Ответ: $ \frac{a^2}{49} $

в) Возводим числитель 2 в четвертую степень и знаменатель $ c $ в четвертую степень.
$ \left(\frac{2}{c}\right)^{4} = \frac{2^{4}}{c^{4}} = \frac{16}{c^{4}} $.
Ответ: $ \frac{16}{c^4} $

г) В этом примере необходимо возвести отрицательную дробь в четную степень 4. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$ \left(-\frac{1}{c}\right)^{4} = \left(\frac{1}{c}\right)^{4} = \frac{1^{4}}{c^{4}} = \frac{1}{c^{4}} $.
Ответ: $ \frac{1}{c^4} $

д) Здесь необходимо возвести отрицательную дробь в нечетную степень 3. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$ \left(-\frac{x}{3}\right)^{3} = -\left(\frac{x}{3}\right)^{3} = -\frac{x^{3}}{3^{3}} = -\frac{x^{3}}{27} $.
Ответ: $ -\frac{x^3}{27} $

573 Возведите дробь в степень:

а) $\left(\frac{2x}{5}\right)^2$;

б) $\left(\frac{1}{x^4}\right)^5$;

в) $\left(\frac{3}{2a}\right)^3$;

г) $\left(-\frac{y^2}{3}\right)^3$;

д) $\left(-\frac{1}{ab}\right)^2$;

е) $\left(\frac{x^2y}{2}\right)^4$;

ж) $\left(-\frac{ab}{c}\right)^5$;

з) $\left(-\frac{3a}{4b}\right)^2$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель. Затем, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель.
$(\frac{2x}{5})^2 = \frac{(2x)^2}{5^2} = \frac{2^2 \cdot x^2}{5^2} = \frac{4x^2}{25}$.
Ответ: $\frac{4x^2}{25}$

б) Используем правило возведения дроби в степень и правило возведения степени в степень (показатели перемножаются).
$(\frac{1}{x^4})^5 = \frac{1^5}{(x^4)^5} = \frac{1}{x^{4 \cdot 5}} = \frac{1}{x^{20}}$.
Ответ: $\frac{1}{x^{20}}$

в) Возводим в куб числитель и знаменатель дроби.
$(\frac{3}{2a})^3 = \frac{3^3}{(2a)^3} = \frac{27}{2^3 a^3} = \frac{27}{8a^3}$.
Ответ: $\frac{27}{8a^3}$

г) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3), результат остается отрицательным.
$(-\frac{y^2}{3})^3 = -(\frac{y^2}{3})^3 = -\frac{(y^2)^3}{3^3} = -\frac{y^{2 \cdot 3}}{27} = -\frac{y^6}{27}$.
Ответ: $-\frac{y^6}{27}$

д) При возведении отрицательного числа в четную степень (2), результат становится положительным.
$(-\frac{1}{ab})^2 = (\frac{1}{ab})^2 = \frac{1^2}{(ab)^2} = \frac{1}{a^2b^2}$.
Ответ: $\frac{1}{a^2b^2}$

е) Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель.
$(\frac{x^2y}{2})^4 = \frac{(x^2y)^4}{2^4} = \frac{(x^2)^4 \cdot y^4}{16} = \frac{x^{2 \cdot 4}y^4}{16} = \frac{x^8y^4}{16}$.
Ответ: $\frac{x^8y^4}{16}$

ж) Так как степень нечетная (5), знак минус сохраняется.
$(-\frac{ab}{c})^5 = -(\frac{ab}{c})^5 = -\frac{(ab)^5}{c^5} = -\frac{a^5b^5}{c^5}$.
Ответ: $-\frac{a^5b^5}{c^5}$

з) Так как степень четная (2), знак минус исчезает, и результат становится положительным.
$(-\frac{3a}{4b})^2 = (\frac{3a}{4b})^2 = \frac{(3a)^2}{(4b)^2} = \frac{3^2a^2}{4^2b^2} = \frac{9a^2}{16b^2}$.
Ответ: $\frac{9a^2}{16b^2}$

574 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{10^3}{2^3}$;

в) $100^4 : 50^4$;

д) $\frac{6^6}{3^6}$;

ж) $7^3 : 14^3$;

б) $8^{12} : 2^{30}$;

г) $25^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6$;

е) $9^5 : 3^9$;

з) $16^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8$.

а) Для вычисления выражения $\frac{10^3}{2^3}$ воспользуемся свойством степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{10^3}{2^3} = (\frac{10}{2})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.

б) Для вычисления выражения $8^{12} : 2^{30}$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $8 = 2^3$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^{36} : 2^{30} = 2^{36-30} = 2^6 = 64$.
Ответ: 64.

в) Для вычисления выражения $100^4 : 50^4$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$100^4 : 50^4 = (100 : 50)^4 = 2^4 = 16$.
Ответ: 16.

г) Для вычисления выражения $25^3 \cdot (\frac{1}{5})^6$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $25 = 5^2$.
Преобразуем множители, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$25^3 = (5^2)^3 = 5^6$.
$(\frac{1}{5})^6 = \frac{1^6}{5^6} = \frac{1}{5^6}$.
Теперь выполним умножение:
$5^6 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{5^6}{5^6} = 1$.
Ответ: 1.

д) Для вычисления выражения $\frac{6^6}{3^5}$ представим основание 6 в виде произведения $6 = 2 \cdot 3$.
Используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^6 \cdot 3^6}{3^5}$.
Теперь сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^6 \cdot 3^{6-5} = 2^6 \cdot 3^1 = 64 \cdot 3 = 192$.
Ответ: 192.

е) Для вычисления выражения $9^5 : 3^9$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{10} : 3^9 = 3^{10-9} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3.

ж) Для вычисления выражения $7^3 \cdot 14^3$ можно разложить число 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.
Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем:
$14^3 = (2 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 7^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$7^3 \cdot (2^3 \cdot 7^3) = 2^3 \cdot (7^3 \cdot 7^3)$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$2^3 \cdot 7^{3+3} = 2^3 \cdot 7^6 = 8 \cdot 117649 = 941192$.
Ответ: 941192.

з) Для вычисления выражения $16^4 \cdot (\frac{1}{4})^8$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$16^4 = (4^2)^4 = 4^{2 \cdot 4} = 4^8$.
Подставим в исходное выражение:
$4^8 \cdot (\frac{1}{4})^8$.
Теперь используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(4 \cdot \frac{1}{4})^8 = 1^8 = 1$.
Ответ: 1.

575 а) $3x \cdot (2x)^3$;

б) $4b \cdot (3b)^3$;

в) $-2a \cdot (ab)^2$;

г) $(x^2y)^3 \cdot (-x)$;

д) $2y \cdot (-4y)^2$;

е) $(-b)^3 \cdot 5ab$;

ж) $-x \cdot (x^2y)^4$;

з) $10a \cdot (10a)^3$;

и) $(-2m^3)^2 \cdot 5mn$.

а) Чтобы упростить выражение $3x \cdot (2x)^3$, сначала возведем в степень одночлен в скобках. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение и перемножим одночлены:

$3x \cdot 8x^3 = (3 \cdot 8) \cdot (x \cdot x^3) = 24 \cdot x^{1+3} = 24x^4$

Ответ: $24x^4$

б) Упростим выражение $4b \cdot (3b)^3$. Сначала возведем в куб выражение в скобках:

$(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3$

Теперь умножим полученный результат на $4b$:

$4b \cdot 27b^3 = (4 \cdot 27) \cdot (b \cdot b^3) = 108 \cdot b^{1+3} = 108b^4$

Ответ: $108b^4$

в) Упростим выражение $-2a \cdot (ab)^2$. Возведем в квадрат произведение в скобках:

$(ab)^2 = a^2 b^2$

Теперь умножим результат на $-2a$:

$-2a \cdot a^2 b^2 = -2 \cdot (a \cdot a^2) \cdot b^2 = -2 \cdot a^{1+2} \cdot b^2 = -2a^3 b^2$

Ответ: $-2a^3 b^2$

г) Упростим выражение $(x^2y)^3 \cdot (-x)$. Сначала возведем в куб первый множитель, используя свойство $(a^m b^n)^k = a^{mk} b^{nk}$:

$(x^2y)^3 = (x^2)^3 \cdot y^3 = x^{2 \cdot 3} y^3 = x^6 y^3$

Теперь умножим полученный одночлен на $(-x)$:

$x^6 y^3 \cdot (-x) = - (x^6 \cdot x) \cdot y^3 = -x^{6+1} y^3 = -x^7 y^3$

Ответ: $-x^7 y^3$

д) Упростим выражение $2y \cdot (-4y)^2$. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках:

$(-4y)^2 = (-4)^2 \cdot y^2 = 16y^2$

Теперь умножим полученный результат на $2y$:

$2y \cdot 16y^2 = (2 \cdot 16) \cdot (y \cdot y^2) = 32 \cdot y^{1+2} = 32y^3$

Ответ: $32y^3$

е) Упростим выражение $(-b)^3 \cdot 5ab$. Сначала возведем в куб первый множитель:

$(-b)^3 = -b^3$

Теперь умножим результат на $5ab$:

$-b^3 \cdot 5ab = -5 \cdot a \cdot (b^3 \cdot b) = -5a \cdot b^{3+1} = -5ab^4$

Ответ: $-5ab^4$

ж) Упростим выражение $-x \cdot (x^2y)^4$. Возведем в четвертую степень выражение в скобках:

$(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot y^4 = x^{2 \cdot 4} y^4 = x^8 y^4$

Теперь умножим результат на $-x$:

$-x \cdot x^8 y^4 = - (x \cdot x^8) \cdot y^4 = -x^{1+8} y^4 = -x^9 y^4$

Ответ: $-x^9 y^4$

з) Упростим выражение $10a \cdot (10a)^3$. Можно рассматривать $10a$ как $(10a)^1$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

$10a \cdot (10a)^3 = (10a)^1 \cdot (10a)^3 = (10a)^{1+3} = (10a)^4$

Теперь возведем в степень:

$(10a)^4 = 10^4 \cdot a^4 = 10000a^4$

Ответ: $10000a^4$

и) Упростим выражение $(-2m^3)^2 \cdot 5mn$. Сначала возведем в квадрат первый множитель:

$(-2m^3)^2 = (-2)^2 \cdot (m^3)^2 = 4 \cdot m^{3 \cdot 2} = 4m^6$

Теперь умножим полученный результат на $5mn$:

$4m^6 \cdot 5mn = (4 \cdot 5) \cdot (m^6 \cdot m) \cdot n = 20 \cdot m^{6+1} \cdot n = 20m^7 n$

Ответ: $20m^7 n$

576 a) $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3;$

б) $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3;$

в) $(-\frac{1}{2}m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2;$

г) $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z;$

д) $((-0,1a^4b)^2)^3;$

е) $-0,01c^3(-10ac^2)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3$, сначала возведем в степень каждый из множителей в скобках, используя правила возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$.
$(a^2b)^2 = (a^2)^2 \cdot b^2 = a^{2 \cdot 2}b^2 = a^4b^2$
$(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$
Теперь перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^4b^2 \cdot a^3b^6 = a^{4+3}b^{2+6} = a^7b^8$
Ответ: $a^7b^8$

б) Упростим выражение $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3$. Возводим в степень каждый множитель в скобках:
$(x^3y)^3 = (x^3)^3y^3 = x^9y^3$
$(xy^2)^3 = x^3(y^2)^3 = x^3y^6$
Далее перемножаем полученные одночлены:
$x^9y^3 \cdot x^3y^6 = x^{9+3}y^{3+6} = x^{12}y^9$
Ответ: $x^{12}y^9$

в) Решим пример $(-\frac{1}{2}m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2$. Сначала возводим в квадрат каждый из одночленов:
$(-\frac{1}{2}m^2n)^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = \frac{1}{4}m^4n^2$
$(4mn^3)^2 = 4^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = 16m^2n^6$
Далее, перемножаем полученные выражения, группируя числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{1}{4}m^4n^2) \cdot (16m^2n^6) = (\frac{1}{4} \cdot 16) \cdot (m^4m^2) \cdot (n^2n^6) = 4m^{4+2}n^{2+6} = 4m^6n^8$
Ответ: $4m^6n^8$

г) Упростим выражение $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z$. Сначала возводим в степень выражения в скобках:
$(-yz)^2 = (-1)^2 y^2 z^2 = y^2z^2$
$(2yz)^3 = 2^3y^3z^3 = 8y^3z^3$
Теперь перемножаем все три множителя:
$y^2z^2 \cdot 8y^3z^3 \cdot 0,5z$
Группируем и умножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(8 \cdot 0,5) \cdot (y^2 \cdot y^3) \cdot (z^2 \cdot z^3 \cdot z^1) = 4y^{2+3}z^{2+3+1} = 4y^5z^6$
Ответ: $4y^5z^6$

д) Для упрощения выражения $((-0,1a^4b)^2)^3$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$. Можно перемножить показатели степеней: $2 \cdot 3 = 6$.
$((-0,1a^4b)^2)^3 = (-0,1a^4b)^{2 \cdot 3} = (-0,1a^4b)^6$
Теперь возводим каждый множитель в 6-ю степень. Четная степень отрицательного числа дает положительный результат.
$(-0,1)^6 \cdot (a^4)^6 \cdot b^6 = 0,000001 \cdot a^{4 \cdot 6} \cdot b^6 = 0,000001a^{24}b^6$
Ответ: $0,000001a^{24}b^6$

е) Упростим выражение $-0,01c^3(-10ac^2)^2$. В первую очередь выполняем возведение в степень:
$(-10ac^2)^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot (c^2)^2 = 100a^2c^4$
Подставляем результат в исходное выражение:
$-0,01c^3 \cdot (100a^2c^4)$
Теперь перемножаем одночлены, группируя коэффициенты и переменные:
$(-0,01 \cdot 100) \cdot a^2 \cdot (c^3 \cdot c^4) = -1 \cdot a^2 \cdot c^{3+4} = -a^2c^7$
Ответ: $-a^2c^7$

577 a) $\frac{(2ab)^2}{4ab^3}$;

Б) $\frac{24x^4y^3}{(2xy)^3}$;

В) $\frac{-81b^6c^3}{(3b^2c)^4}$;

Г) $\frac{(2a^2c^5)^2}{-(4a^2c^2)^3}$;

Д) $\frac{-9(a^2c^3)^3}{(3a^3c^2)^3}$;

e) $\frac{(x^2)^3(y^2)^2}{(x^3y^3)^3}$.

а) $\frac{(2ab)^2}{4ab^3}$
Для решения упростим выражение, используя свойства степеней. Сначала возведем в степень выражение в числителе: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$\frac{(2ab)^2}{4ab^3} = \frac{2^2 a^2 b^2}{4ab^3} = \frac{4a^2b^2}{4ab^3}$
Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{4}{4} \cdot \frac{a^2}{a^1} \cdot \frac{b^2}{b^3} = 1 \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-3} = a^1 \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$
Ответ: $\frac{a}{b}$

б) $\frac{24x^4y^3}{(2xy)^3}$
Сначала раскроем скобки в знаменателе, возведя каждый множитель в куб:
$(2xy)^3 = 2^3 x^3 y^3 = 8x^3y^3$
Подставим полученное выражение в знаменатель:
$\frac{24x^4y^3}{8x^3y^3}$
Теперь сократим дробь по частям:
$\frac{24}{8} \cdot \frac{x^4}{x^3} \cdot \frac{y^3}{y^3} = 3 \cdot x^{4-3} \cdot y^{3-3} = 3 \cdot x^1 \cdot y^0 = 3x \cdot 1 = 3x$
Ответ: $3x$

в) $\frac{-81b^6c^3}{(3b^2c)^4}$
Раскроем скобки в знаменателе, возведя выражение в четвертую степень:
$(3b^2c)^4 = 3^4 (b^2)^4 c^4 = 81b^{2 \cdot 4}c^4 = 81b^8c^4$
Подставим результат в исходное выражение:
$\frac{-81b^6c^3}{81b^8c^4}$
Сократим дробь:
$\frac{-81}{81} \cdot \frac{b^6}{b^8} \cdot \frac{c^3}{c^4} = -1 \cdot b^{6-8} \cdot c^{3-4} = -1 \cdot b^{-2} \cdot c^{-1} = -\frac{1}{b^2c}$
Ответ: $-\frac{1}{b^2c}$

г) $\frac{(2a^2c^5)^2}{-(4a^2c^2)^3}$
Возведем в степень выражения в числителе и знаменателе:
Числитель: $(2a^2c^5)^2 = 2^2(a^2)^2(c^5)^2 = 4a^4c^{10}$
Знаменатель: $-(4a^2c^2)^3 = -(4^3(a^2)^3(c^2)^3) = -64a^6c^6$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{4a^4c^{10}}{-64a^6c^6} = \frac{4}{-64} \cdot \frac{a^4}{a^6} \cdot \frac{c^{10}}{c^6} = -\frac{1}{16} \cdot a^{4-6} \cdot c^{10-6} = -\frac{1}{16} a^{-2} c^4 = -\frac{c^4}{16a^2}$
Ответ: $-\frac{c^4}{16a^2}$

д) $\frac{-9(a^2c^3)^3}{(3a^3c^2)^3}$
Возведем в степень выражения в скобках в числителе и знаменателе:
Числитель: $-9(a^2c^3)^3 = -9(a^{2 \cdot 3}c^{3 \cdot 3}) = -9a^6c^9$
Знаменатель: $(3a^3c^2)^3 = 3^3(a^3)^3(c^2)^3 = 27a^9c^6$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{-9a^6c^9}{27a^9c^6} = \frac{-9}{27} \cdot \frac{a^6}{a^9} \cdot \frac{c^9}{c^6} = -\frac{1}{3} \cdot a^{6-9} \cdot c^{9-6} = -\frac{1}{3} a^{-3} c^3 = -\frac{c^3}{3a^3}$
Ответ: $-\frac{c^3}{3a^3}$

е) $\frac{(x^2)^3(y^2)^2}{(x^3y^3)^3}$
Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ для упрощения числителя и знаменателя.
Числитель: $(x^2)^3(y^2)^2 = x^{2 \cdot 3} \cdot y^{2 \cdot 2} = x^6y^4$
Знаменатель: $(x^3y^3)^3 = (x^3)^3(y^3)^3 = x^{3 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = x^9y^9$
Получаем дробь:
$\frac{x^6y^4}{x^9y^9} = \frac{x^6}{x^9} \cdot \frac{y^4}{y^9} = x^{6-9} \cdot y^{4-9} = x^{-3}y^{-5} = \frac{1}{x^3y^5}$
Ответ: $\frac{1}{x^3y^5}$

578 РАССУЖДАЕМ

а) Докажите, что если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то его площадь увеличится в 100 раз.

б) Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в $n$ раз?

а) Докажем утверждение. Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = a^2$.

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то длина новой стороны будет равна $10a$. Площадь нового квадрата, обозначим ее $S_2$, будет равна квадрату его новой стороны:

$S_2 = (10a)^2 = 10^2 \cdot a^2 = 100a^2$.

Теперь найдем, во сколько раз новая площадь $S_2$ больше исходной площади $S_1$. для этого вычислим их отношение:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{100a^2}{a^2} = 100$.

Отношение площадей равно 100. Это означает, что площадь квадрата увеличилась в 100 раз. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

б) Решим задачу в общем виде. Пусть ребро исходного куба равно $a$. Объем куба $V_1$ вычисляется по формуле: $V_1 = a^3$.

Если ребро куба увеличить в $n$ раз, то длина нового ребра станет $na$. Объем нового куба, обозначим его $V_2$, будет равен кубу его нового ребра:

$V_2 = (na)^3 = n^3 \cdot a^3 = n^3a^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к исходному объему $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{n^3a^3}{a^3} = n^3$.

Следовательно, при увеличении ребра куба в $n$ раз, его объем увеличивается в $n^3$ раз.

Ответ: в $n^3$ раз.