Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

593 В конференции участвовало 20 человек, и каждый с каждым обменялись визитной карточкой. Сколько всего карточек понадобилось?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: С помощью логических рассуждений

В конференции участвовало 20 человек. Каждый участник должен был обменяться визитными карточками со всеми остальными участниками.

Возьмем одного любого участника. Ему нужно дать свою визитку всем остальным. Поскольку, кроме него, в конференции участвовало еще $20 - 1 = 19$ человек, то этот участник должен был раздать 19 своих визиток.

Так как каждый из 20 участников раздал по 19 визиток, то общее количество необходимых карточек можно найти, умножив общее число участников на количество визиток, которое раздал каждый из них.

Общее количество карточек = $20 \times (20 - 1) = 20 \times 19 = 380$.

Ответ: 380 карточек.

Способ 2: С помощью комбинаторики

Этот способ имеет два варианта рассуждений.

Вариант А: Размещения

Обмен визитками между двумя людьми, назовем их А и Б, представляет собой два отдельных действия: А дает карточку Б, и Б дает карточку А. Каждое такое действие можно представить как упорядоченную пару участников $(А, Б)$, где первый элемент пары дает карточку второму. Нам нужно найти общее количество таких упорядоченных пар. Это классическая задача на нахождение числа размещений без повторений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае общее число участников $n = 20$, а в каждом действии передачи карточки участвуют $k = 2$ человека.

Подставим значения в формулу: $A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$.

Вариант Б: Сочетания

Сначала найдем, сколько всего уникальных пар участников можно составить из 20 человек. Порядок в данном случае нам не важен (пара А и Б — это та же пара, что и Б и А). Это задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n = 20$ и $k = 2$.

$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$.

Итак, существует 190 уникальных пар участников. По условию, в каждой паре участники обмениваются визитками, то есть происходит передача двух карточек (одна от первого второму, вторая — наоборот). Чтобы найти общее количество карточек, нужно умножить количество пар на 2.

Общее количество карточек = $190 \times 2 = 380$.

Ответ: 380 карточек.

594 Ищем информацию

Выскажите предположение, какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти знаков. Найдите азбуку Морзе в Интернете или в литературе и проверьте ваше предположение.

Выскажите предположение, какие буквы русского алфавита в азбуке Морзе кодируются последовательностью из пяти знаков.

Азбука Морзе была разработана для эффективной передачи текстовой информации по телеграфу. Основной принцип, заложенный в её основу, — частотный. Это означает, что наиболее часто встречающимся буквам в языке присваиваются самые короткие кодовые последовательности, а наименее часто встречающимся — самые длинные.

Исходя из этого принципа, можно предположить, что последовательностью из пяти знаков (точек и тире) в русском варианте азбуки Морзе будут кодироваться самые редкие буквы русского алфавита. К таким буквам традиционно относят Ъ, Ф, Щ, Э.

Ответ: Можно предположить, что пятизначными последовательностями кодируются самые редкие буквы русского алфавита, например, Ъ, Щ и Э.

Найдите азбуку Морзе в Интернете или в литературе и проверьте ваше предположение.

Для проверки гипотезы обратимся к таблице кодов Морзе для русского алфавита. Подавляющее большинство букв кодируется последовательностями длиной от одного до четырёх знаков. Например, самые частые буквы Е и Т имеют самые короткие коды:

Е: $•$ (1 знак)

Т: $-$ (1 знак)

При поиске букв, кодируемых ровно пятью знаками, обнаруживается, что таких букв всего три. Это подтверждает выдвинутое предположение.

Буквы русского алфавита, кодируемые пятью знаками:

1. Щ: $--•--$

2. Э: $••-••$

3. Ъ: $--••-$ (один из принятых вариантов)

Как и предполагалось, это одни из самых редких букв в русском языке. Таким образом, первоначальная гипотеза, основанная на частотном принципе построения азбуки Морзе, полностью подтвердилась.

Ответ: Проверка подтверждает, что последовательностью из пяти знаков в азбуке Морзе кодируются буквы Щ ($--•--$), Э ($••-••$) и Ъ ($--••-$).

595 Монету подбрасывают 5 раз подряд и каждый раз записывают, что выпало — орёл или решка. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться?

Это задача из области комбинаторики, которая решается с помощью правила умножения. Мы имеем дело с последовательностью из 5 независимых событий — подбрасываний монеты.

При каждом подбрасывании монеты есть ровно два возможных исхода: «орёл» (О) или «решка» (Р).

Поскольку монету подбрасывают 5 раз и результат каждого броска не зависит от результатов предыдущих, общее число всех возможных последовательностей можно найти, перемножив число исходов для каждого броска.
- Для первого броска есть 2 варианта (О или Р).
- Для второго броска также 2 варианта.
- Для третьего броска — 2 варианта.
- Для четвертого броска — 2 варианта.
- Для пятого броска — 2 варианта.

Общее количество различных последовательностей $N$ будет произведением числа исходов для каждого из пяти бросков. Это можно описать формулой для числа размещений с повторениями из $k$ элементов по $n$: $N = k^n$. В нашем случае число возможных исходов $k=2$ (орёл, решка), а число испытаний $n=5$.

Вычисляем общее количество последовательностей:
$N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

$2^5 = 32$

Следовательно, существует 32 различные последовательности из орлов и решек, которые могут получиться в результате 5 подбрасываний монеты.

Ответ: 32

596 В компьютере каждый символ кодируется последовательностью, состоящей из восьми цифр — нулей и единиц. Например, символ «пробел» закодирован так: 00101000. Какое наибольшее число символов может быть таким образом закодировано?

Для решения этой задачи необходимо посчитать, сколько всего уникальных комбинаций можно составить из 8 позиций, если на каждой позиции может стоять один из двух символов — 0 или 1. Эта задача относится к области комбинаторики и решается с помощью формулы для нахождения числа размещений с повторениями.

Мы имеем дело с двоичным кодом (алфавит состоит из двух символов: 0 и 1) и длиной кодового слова, равной 8.

Представим кодовое слово как 8 ячеек:

[1-я ячейка] [2-я ячейка] [3-я ячейка] [4-я ячейка] [5-я ячейка] [6-я ячейка] [7-я ячейка] [8-я ячейка]

Для заполнения первой ячейки есть 2 варианта (0 или 1).
Для заполнения второй ячейки также есть 2 независимых варианта.
...
И для восьмой ячейки тоже есть 2 варианта.

Чтобы найти общее количество всех возможных уникальных последовательностей (кодов), нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции.

Общее число комбинаций $N$ вычисляется по формуле:
$N = n^k$
где $n$ — мощность алфавита (количество возможных символов для одной позиции), а $k$ — длина кодового слова (количество позиций).

В нашем случае:
$n = 2$ (символы «0» и «1»)
$k = 8$ (последовательность из восьми цифр)

Подставляем значения в формулу:
$N = 2^8$

Вычисляем результат:
$2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$

Следовательно, с помощью последовательности из восьми нулей и единиц можно закодировать 256 различных символов.

Ответ: 256

597 Сколько сигналов можно поднять на мачте, если имеется четыре разных флага и каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флагов? (Сигналы, составленные из флагов, взятых в разном порядке, считаются различными.)

По условию задачи, имеется 4 различных флага. Сигнал должен состоять "не менее чем из двух флагов", что означает, что он может состоять из 2, 3 или 4 флагов. Поскольку сигналы, составленные из флагов в разном порядке, считаются различными, для подсчета вариантов необходимо использовать формулу для нахождения числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ находится по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае общее число флагов $n=4$.

Рассмотрим каждый возможный случай отдельно.

Сигналы из двух флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 элементов по 2 ($k=2$):
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.

Сигналы из трех флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 элементов по 3 ($k=3$):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Сигналы из четырех флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 по 4 ($k=4$), что эквивалентно числу перестановок 4 элементов ($P_4$):
$A_4^4 = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Для нахождения общего количества сигналов сложим количество вариантов для каждого случая:
$12 + 24 + 24 = 60$.

Ответ: 60

598 РАССУЖДАЕМ

В латинском алфавите 26 букв. Будем считать словом любую последовательность, состоящую не более чем из пяти букв. Сколько всего таких слов?

Согласно условию задачи, в латинском алфавите 26 букв. Словом считается любая последовательность букв, длина которой «не более чем из пяти букв». Это означает, что слово может состоять из одной, двух, трех, четырех или пяти букв. Поскольку в задаче не указано иное, мы предполагаем, что буквы в слове могут повторяться.

Для решения задачи нам нужно посчитать количество возможных слов для каждой допустимой длины и затем сложить эти количества. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями, которое вычисляется по формуле $N = n^k$, где $n$ — количество элементов для выбора (в нашем случае, 26 букв), а $k$ — длина последовательности (длина слова).

1. Количество слов из одной буквы ($k=1$):
$N_1 = 26^1 = 26$

2. Количество слов из двух букв ($k=2$):
$N_2 = 26^2 = 676$

3. Количество слов из трех букв ($k=3$):
$N_3 = 26^3 = 17\;576$

4. Количество слов из четырех букв ($k=4$):
$N_4 = 26^4 = 456\;976$

5. Количество слов из пяти букв ($k=5$):
$N_5 = 26^5 = 11\;881\;376$

Чтобы найти общее количество таких слов, нужно сложить количество слов каждой возможной длины:

$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$

$N_{общ} = 26 + 676 + 17\;576 + 456\;976 + 11\;881\;376 = 12\;356\;630$

Эту же сумму можно найти по формуле суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 26$ и знаменатель $q = 26$:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{26(26^5 - 1)}{26 - 1} = \frac{26(11\;881\;376 - 1)}{25} = \frac{26 \cdot 11\;881\;375}{25} = 26 \cdot 475\;255 = 12\;356\;630$

Ответ: всего можно составить 12 356 630 таких слов.