Номер 593, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 593, страница 177.

593 В конференции участвовало 20 человек, и каждый с каждым обменялись визитной карточкой. Сколько всего карточек понадобилось?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: С помощью логических рассуждений

В конференции участвовало 20 человек. Каждый участник должен был обменяться визитными карточками со всеми остальными участниками.

Возьмем одного любого участника. Ему нужно дать свою визитку всем остальным. Поскольку, кроме него, в конференции участвовало еще $20 - 1 = 19$ человек, то этот участник должен был раздать 19 своих визиток.

Так как каждый из 20 участников раздал по 19 визиток, то общее количество необходимых карточек можно найти, умножив общее число участников на количество визиток, которое раздал каждый из них.

Общее количество карточек = $20 \times (20 - 1) = 20 \times 19 = 380$.

Ответ: 380 карточек.

Способ 2: С помощью комбинаторики

Этот способ имеет два варианта рассуждений.

Вариант А: Размещения

Обмен визитками между двумя людьми, назовем их А и Б, представляет собой два отдельных действия: А дает карточку Б, и Б дает карточку А. Каждое такое действие можно представить как упорядоченную пару участников $(А, Б)$, где первый элемент пары дает карточку второму. Нам нужно найти общее количество таких упорядоченных пар. Это классическая задача на нахождение числа размещений без повторений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае общее число участников $n = 20$, а в каждом действии передачи карточки участвуют $k = 2$ человека.

Подставим значения в формулу: $A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$.

Вариант Б: Сочетания

Сначала найдем, сколько всего уникальных пар участников можно составить из 20 человек. Порядок в данном случае нам не важен (пара А и Б — это та же пара, что и Б и А). Это задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n = 20$ и $k = 2$.

$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$.

Итак, существует 190 уникальных пар участников. По условию, в каждой паре участники обмениваются визитками, то есть происходит передача двух карточек (одна от первого второму, вторая — наоборот). Чтобы найти общее количество карточек, нужно умножить количество пар на 2.

Общее количество карточек = $190 \times 2 = 380$.

Ответ: 380 карточек.