Номер 2, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 2, страница 176.

Какие из данных ниже задач аналогичны той, что описана в примере 2?

a) В спартакиаде приняли участие 7 боксёров, причём каждый с каждым провели по одному бою. Сколько всего боёв было проведено?

б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms-сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?

г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялись послами. Сколько всего послов было направлено?

д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Задачи, которые аналогичны классическому примеру (обычно это задача о рукопожатиях или о количестве игр в турнире), — это те, в которых взаимодействие между двумя объектами является взаимным и не зависит от порядка. В таких задачах ищется количество неупорядоченных пар, или, говоря языком комбинаторики, число сочетаний из n по 2. Этому условию соответствуют задачи а), б) и д).

Задачи в) и г) отличаются, так как в них взаимодействие направленное (например, SMS от Маши к Даше — это не то же самое, что SMS от Даши к Маше). В этих задачах ищется количество упорядоченных пар, или число размещений.

---

а) В спартакиаде приняли участие 7 боксёров, причём каждый с каждым провели по одному бою. Сколько всего боёв было проведено?

В каждом бою участвуют два боксёра, и бой между боксёром А и боксёром Б — это то же самое, что бой между боксёром Б и боксёром А. Порядок не важен. Следовательно, мы ищем количество сочетаний из 7 по 2. Можно рассуждать так: каждый из 7 боксёров проводит бой с 6 остальными. Если мы просто умножим $7 \times 6 = 42$, то мы посчитаем каждый бой дважды (один раз для первого участника, второй — для второго). Поэтому результат нужно разделить на 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=7$, $k=2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
Ответ: 21 бой.

---

б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Эта задача полностью аналогична предыдущей. Рукопожатие между двумя людьми — это одно действие, порядок не имеет значения. Мы ищем количество пар, которые можно составить из 6 бизнесменов.
Используем ту же логику: каждый из 6 бизнесменов пожимает руку 5 другим. Произведение $6 \times 5 = 30$ учитывает каждое рукопожатие дважды. Делим на 2.
$C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
Ответ: 15 рукопожатий.

---

в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms-сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?

В этой задаче порядок важен. Если подруга А отправляет сообщение подруге Б, это одно действие. Когда подруга Б отправляет сообщение подруге А — это другое, второе действие. Таким образом, каждая из 4 подруг отправляет сообщения 3 другим подругам.
Общее количество сообщений равно $4 \times 3 = 12$.
Это задача на размещения, формула: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12 сообщений.

---

г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялись послами. Сколько всего послов было направлено?

Эта задача аналогична предыдущей (про sms). Если государство А направляет посла в государство Б, а государство Б направляет посла в А — это два разных посла. Действие направленное.
Каждое из 5 государств направляет послов в 4 других государства.
Общее количество послов: $5 \times 4 = 20$.
Используем формулу для числа размещений: $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
Ответ: 20 послов.

---

д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Отрезок, соединяющий точку А и точку Б, — это тот же самый отрезок, что соединяет Б и А. Порядок не важен. Задача аналогична пунктам а) и б). Нам нужно найти количество пар точек, которые можно выбрать из 4.
Используем формулу для числа сочетаний: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Можно и пересчитать: если точки обозначить 1, 2, 3, 4, то отрезки будут (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) — всего 6.
Ответ: 6 отрезков.