Номер 592, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 592, страница 176.

592 a) В чемпионате по настольному теннису участвовало 40 спортсменов, и каждый с каждым сыграли по одной партии. Сколько всего сыграно партий?

б) На официальном приёме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

в) В некоторой стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?

а) Чтобы найти общее количество сыгранных партий, нужно определить, сколько уникальных пар можно составить из 40 спортсменов. Каждая партия — это пара из двух спортсменов, причём порядок в паре не важен (игра Иванова с Петровым — это та же самая игра, что и Петрова с Ивановым). Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.
Число сочетаний из n элементов по k находится по формуле: $C_n^k = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$.
Для нашего случая, где нужно выбрать пары (k=2) из n=40 спортсменов, формула упрощается до: $C_{40}^2 = \frac{40 \times (40-1)}{2}$.
Выполним расчёт:
Количество партий = $\frac{40 \times 39}{2} = 20 \times 39 = 780$.
Ответ: 780 партий.

б) Эта задача аналогична предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, и нам нужно найти общее количество таких уникальных пар из 50 человек.
Используем ту же формулу для нахождения числа сочетаний из n по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
В данном случае n = 50.
Подставим значение в формулу:
Количество рукопожатий = $\frac{50 \times (50-1)}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 25 \times 49 = 1225$.
Ответ: 1225 рукопожатий.

в) Данная задача также решается через нахождение числа сочетаний. Каждая авиалиния соединяет пару городов, и порядок городов в этой паре не имеет значения. Нам нужно найти, сколько уникальных пар можно составить из 25 городов.
Применяем формулу для числа сочетаний из n по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Здесь n = 25.
Произведём вычисление:
Количество авиалиний = $\frac{25 \times (25-1)}{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 25 \times 12 = 300$.
Ответ: 300 авиалиний.