Номер 597, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 597, страница 177.

597 Сколько сигналов можно поднять на мачте, если имеется четыре разных флага и каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флагов? (Сигналы, составленные из флагов, взятых в разном порядке, считаются различными.)

По условию задачи, имеется 4 различных флага. Сигнал должен состоять "не менее чем из двух флагов", что означает, что он может состоять из 2, 3 или 4 флагов. Поскольку сигналы, составленные из флагов в разном порядке, считаются различными, для подсчета вариантов необходимо использовать формулу для нахождения числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ находится по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае общее число флагов $n=4$.

Рассмотрим каждый возможный случай отдельно.

Сигналы из двух флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 элементов по 2 ($k=2$):
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.

Сигналы из трех флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 элементов по 3 ($k=3$):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Сигналы из четырех флагов
Количество таких сигналов равно числу размещений из 4 по 4 ($k=4$), что эквивалентно числу перестановок 4 элементов ($P_4$):
$A_4^4 = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Для нахождения общего количества сигналов сложим количество вариантов для каждого случая:
$12 + 24 + 24 = 60$.

Ответ: 60