Номер 3, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 3, страница 179.

Что растёт быстрее: $n!$ или $n^2$, $n!$ или $2^n$?

Чтобы определить, какая из функций растёт быстрее, нужно найти предел их отношения при $n \to \infty$. Если предел равен бесконечности, то быстрее растёт функция в числителе. Если предел равен нулю, быстрее растёт функция в знаменателе.

n! или n²?
Рассмотрим предел отношения этих двух функций: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^2} $$ Распишем факториал $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Для $n > 2$ можно переписать выражение следующим образом: $$ \frac{n!}{n^2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n}{n^2} = \frac{(n-1)!}{n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot (n-1)}{n} $$ Даже если мы разделим только один множитель $(n-1)$ на $n$, мы получим: $$ (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2)) \cdot \frac{n-1}{n} $$ При $n \to \infty$, множитель $\frac{n-1}{n}$ стремится к 1, а произведение $(n-2)! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2)$ стремится к бесконечности. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (n-2)! \cdot \frac{n-1}{n} = \infty \cdot 1 = \infty $$ Поскольку предел отношения равен бесконечности, функция в числителе, $n!$, растёт быстрее, чем $n^2$.
Ответ: $n!$ растёт быстрее.

n! или 2ⁿ?
Аналогично, рассмотрим предел отношения этих функций: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2^n} $$ Распишем числитель и знаменатель: $$ \frac{n!}{2^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} $$ Это произведение можно переписать как: $$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2}\right) $$ Для всех $n \ge 3$, каждый новый множитель в скобках ($\frac{3}{2}, \frac{4}{2}, \frac{5}{2}$ и т.д.) больше 1. Произведение будет неограниченно расти при увеличении $n$. Следовательно, предел равен бесконечности. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2^n} = \infty $$ Так как предел отношения равен бесконечности, функция $n!$ растёт быстрее, чем показательная функция $2^n$.
Ответ: $n!$ растёт быстрее.