Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Используя термин «факториал», ответьте, сколькими способами могут распределиться места между:

$4!$

$5!$

$10!$

Чтобы определить, сколькими способами могут распределиться места между участниками, нужно вычислить количество перестановок для данного числа участников. Количество перестановок n различных объектов вычисляется с помощью термина «факториал», который обозначается как $n!$ и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

четырьмя участниками турнира

Для четырех участников ($n=4$) количество способов распределения мест равно факториалу числа 4.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Это означает, что существует 24 различных варианта распределения мест.
Ответ: $4! = 24$ способа.

пятью участниками

Для пяти участников ($n=5$) количество способов распределения мест равно факториалу числа 5.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Это означает, что существует 120 различных вариантов распределения мест.
Ответ: $5! = 120$ способов.

десятью участниками

Для десяти участников ($n=10$) количество способов распределения мест равно факториалу числа 10.
$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3\,628\,800$.
Это означает, что существует 3 628 800 различных вариантов распределения мест.
Ответ: $10! = 3\,628\,800$ способов.

Назовите все перестановки множества, состоящего из трёх букв: «а», «б», «в». Сколько существует перестановок из трёх элементов?

Назовите все перестановки множества, состоящего из трёх букв: «а», «б», «в».

Перестановкой множества называется любой упорядоченный набор его элементов. Чтобы найти все перестановки для множества {а, б, в}, мы должны составить все возможные последовательности из этих трёх букв без повторений.

Будем составлять их систематически:

1. Если на первом месте стоит буква «а», то возможны два варианта: (а, б, в) и (а, в, б).

2. Если на первом месте стоит буква «б», то возможны два варианта: (б, а, в) и (б, в, а).

3. Если на первом месте стоит буква «в», то возможны два варианта: (в, а, б) и (в, б, а).

Таким образом, мы перечислили все возможные комбинации.

Ответ: (а, б, в), (а, в, б), (б, а, в), (б, в, а), (в, а, б), (в, б, а).

Сколько существует перестановок из трёх элементов?

Количество всех возможных перестановок для множества из n различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется с помощью факториала. Формула для числа перестановок:

$P_n = n!$

Где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

В нашем случае имеется множество из трёх элементов (n = 3). Подставим это значение в формулу:

$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Следовательно, существует 6 различных перестановок из трёх элементов, что подтверждается списком, полученным в первой части ответа.

Ответ: 6.

Что растёт быстрее: $n!$ или $n^2$, $n!$ или $2^n$?

Чтобы определить, какая из функций растёт быстрее, нужно найти предел их отношения при $n \to \infty$. Если предел равен бесконечности, то быстрее растёт функция в числителе. Если предел равен нулю, быстрее растёт функция в знаменателе.

n! или n²?
Рассмотрим предел отношения этих двух функций: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^2} $$ Распишем факториал $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Для $n > 2$ можно переписать выражение следующим образом: $$ \frac{n!}{n^2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n}{n^2} = \frac{(n-1)!}{n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot (n-1)}{n} $$ Даже если мы разделим только один множитель $(n-1)$ на $n$, мы получим: $$ (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2)) \cdot \frac{n-1}{n} $$ При $n \to \infty$, множитель $\frac{n-1}{n}$ стремится к 1, а произведение $(n-2)! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-2)$ стремится к бесконечности. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (n-2)! \cdot \frac{n-1}{n} = \infty \cdot 1 = \infty $$ Поскольку предел отношения равен бесконечности, функция в числителе, $n!$, растёт быстрее, чем $n^2$.
Ответ: $n!$ растёт быстрее.

n! или 2ⁿ?
Аналогично, рассмотрим предел отношения этих функций: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2^n} $$ Распишем числитель и знаменатель: $$ \frac{n!}{2^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} $$ Это произведение можно переписать как: $$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2}\right) $$ Для всех $n \ge 3$, каждый новый множитель в скобках ($\frac{3}{2}, \frac{4}{2}, \frac{5}{2}$ и т.д.) больше 1. Произведение будет неограниченно расти при увеличении $n$. Следовательно, предел равен бесконечности. $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2^n} = \infty $$ Так как предел отношения равен бесконечности, функция $n!$ растёт быстрее, чем показательная функция $2^n$.
Ответ: $n!$ растёт быстрее.

a) В понедельник в 7 классе 5 уроков: алгебра, русский язык, история, биология, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на понедельник?

б) Во вторник в 7 классе также 5 уроков: алгебра, русский язык, география и два урока физкультуры, которые должны идти подряд. Сколькими способами можно составить расписание уроков на вторник?

а) В понедельник 5 разных уроков: алгебра, русский язык, история, биология, физкультура. Нам нужно найти количество способов расставить эти 5 уроков в расписании на 5 мест (первый урок, второй и т.д.). Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов.
Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").
В нашем случае $n=5$. Вычислим количество способов:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Таким образом, существует 120 различных способов составить расписание на понедельник.
Ответ: 120

б) Во вторник также 5 уроков, но с дополнительным условием: два урока физкультуры должны идти подряд. Чтобы решить эту задачу, мы можем рассматривать два урока физкультуры как один единый блок.
Таким образом, у нас есть следующие элементы для составления расписания:
1. Алгебра
2. Русский язык
3. География
4. Сдвоенный урок физкультуры (блок)
Теперь нам нужно найти количество способов расставить эти 4 элемента. Это число перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Так как два урока физкультуры являются уроками одного и того же предмета, порядок их следования внутри сдвоенного блока не имеет значения (физкультура-1, физкультура-2 — это то же самое, что физкультура-2, физкультура-1). Если бы это были разные предметы, мы бы умножили результат на 2. Но в данном случае количество перестановок внутри блока равно 1.
Следовательно, общее количество способов составить расписание на вторник равно 24.
Ответ: 24

599 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Вычислите:

а) $4!$;

б) $5!$;

в) $4! + 5!$;

г) $4! \cdot 5!$;

д) $5 \cdot 4!$.

Для решения данных примеров необходимо знать определение факториала. Факториал натурального числа $n$, который обозначается как $n!$, представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Формула для вычисления факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. По определению также принимается, что $0! = 1$.

а) Вычислим $4!$.
По определению факториала, $4!$ — это произведение чисел от 1 до 4.
$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 12 \cdot 2 = 24$.
Ответ: 24

б) Вычислим $5!$.
По определению факториала, $5!$ — это произведение чисел от 1 до 5.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.
Можно заметить, что $5! = 5 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5 \cdot 4!$. Используя результат из пункта а), где $4! = 24$:
$5! = 5 \cdot 24 = 120$.
Ответ: 120

в) Вычислим сумму $4! + 5!$.
Используем значения, вычисленные в предыдущих пунктах: $4! = 24$ и $5! = 120$.
$4! + 5! = 24 + 120 = 144$.
Альтернативный способ решения — вынести общий множитель $4!$ за скобки:
$4! + 5! = 4! + (5 \cdot 4!) = 4! \cdot (1 + 5) = 4! \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$.
Ответ: 144

г) Вычислим произведение $4! \cdot 5!$.
Используем ранее вычисленные значения: $4! = 24$ и $5! = 120$.
$4! \cdot 5! = 24 \cdot 120$.
Выполним умножение:
$24 \cdot 120 = 2880$.
Ответ: 2880

д) Вычислим выражение $5 \cdot 4!$.
Это выражение является развернутой записью для $5!$, как было показано в пункте б).
$5 \cdot 4! = 5 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5!$.
Используя значение $4! = 24$ из пункта а):
$5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$.
Ответ: 120

600 a) В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут распределиться места между ними?

б) Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов?

в) Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг?

а) В данной задаче требуется найти количество способов, которыми могут быть распределены 8 призовых мест между 8 школьниками. Поскольку все школьники различны и все места различны (1-е, 2-е, и т.д.), то каждый способ распределения мест представляет собой упорядоченный набор из 8 элементов, то есть перестановку. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=8$, поэтому количество способов равно $8!$.
$P_8 = 8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 40320$.
Ответ: 40320

б) Чтобы составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов, нужно определить порядок их посещения. Так как все города различны, каждый маршрут представляет собой уникальную последовательность из 7 городов. Это задача на нахождение числа перестановок из 7 элементов. Количество таких перестановок равно $P_n = n!$ для $n=7$.
$P_7 = 7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$.
Ответ: 5040

в) Расстановка 10 различных книг на полке — это задача об определении порядка их расположения. Каждая возможная расстановка является перестановкой этих 10 книг. Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов находится по формуле $P_n = n!$. В данном случае у нас 10 книг, то есть $n=10$.
$P_{10} = 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3628800$.
Ответ: 3628800

601 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Для каждой из 10 команд, участвующих в школьной спартакиаде, надо изготовить свой флаг. Есть материя трёх цветов: красного, синего и белого. Флаг сшивают из трёх одинаковых по величине и разных по цвету горизонтальных полос. Удастся ли таким образом сделать флаг для каждой команды?

Практическая ситуация

Чтобы определить, удастся ли изготовить уникальный флаг для каждой из 10 команд, нужно посчитать, сколько всего различных флагов можно сделать при заданных условиях.

По условию, флаг состоит из трех одинаковых по величине горизонтальных полос, причем все три полосы должны быть разного цвета. В наличии есть материя трех цветов: красного, синего и белого. Это означает, что каждый флаг должен использовать все три доступных цвета.

Задача сводится к определению количества возможных способов расположить 3 разных цвета на 3 позициях (полосах). Это классическая задача на нахождение числа перестановок.

Число перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество цветов $n = 3$. Подставим это значение в формулу:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Следовательно, можно изготовить всего 6 уникальных флагов. Вот все возможные комбинации (если обозначить цвета первыми буквами: К - красный, С - синий, Б - белый):

1. Красный, Синий, Белый
2. Красный, Белый, Синий
3. Синий, Красный, Белый
4. Синий, Белый, Красный
5. Белый, Красный, Синий
6. Белый, Синий, Красный

В спартакиаде участвуют 10 команд, и для каждой требуется свой, отличный от других, флаг. Поскольку максимально возможное количество уникальных флагов равно 6, а команд 10, то обеспечить каждую команду уникальным флагом не получится, так как $6 < 10$.

Ответ: Нет, таким образом сделать флаг для каждой из 10 команд не удастся, поскольку из трех цветов можно составить только 6 различных флагов.

602 Напомним, что анаграмма — это слово, полученное из данного слова перестановкой его букв (но необязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм:

слова «график»?

слова «интеграл»?

Задача сводится к нахождению числа перестановок букв в каждом слове. Количество перестановок для набора из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал), где $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$.

слова «график»

Слово «график» состоит из 6 букв: г, р, а, ф, и, к. Все буквы в этом слове являются уникальными, то есть не повторяются. Поэтому для нахождения количества различных анаграмм нужно вычислить число перестановок из 6 элементов.

Количество анаграмм равно $6!$:

$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Таким образом, существует 720 различных анаграмм слова «график».

Ответ: 720.

слова «интеграл»

Слово «интеграл» состоит из 8 букв: и, н, т, е, г, р, а, л. В этом слове все буквы также различны.

Следовательно, количество возможных анаграмм равно числу перестановок из 8 элементов, то есть $8!$:

$P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$.

Таким образом, существует 40320 различных анаграмм слова «интеграл».

Ответ: 40320.

603 Из нечётных цифр составляют всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр.

а) Сколько всего таких чисел?

б) Сколько таких чисел начинается с цифры 1?

а) Сколько всего таких чисел?

Для составления пятизначных чисел используются нечётные цифры. Набор нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего имеется 5 таких цифр.По условию, числа должны быть пятизначными и не содержать одинаковых цифр. Это означает, что для составления каждого числа используются все 5 нечётных цифр ровно по одному разу. Таким образом, каждое такое число является перестановкой этих пяти цифр.Задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле:$P_n = n!$В данном случае $n = 5$, так как у нас 5 различных нечётных цифр.Вычислим количество возможных чисел:$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.Следовательно, можно составить 120 различных пятизначных чисел из нечётных цифр без повторений.

Ответ: 120.

б) Сколько таких чисел начинается с цифры 1?

Теперь найдём, сколько из этих 120 чисел начинаются с цифры 1.Если первая цифра в пятизначном числе фиксирована и равна 1, то для заполнения оставшихся четырёх позиций у нас есть оставшиеся четыре нечётные цифры: {3, 5, 7, 9}.Так как цифры в числе не должны повторяться, нам нужно расположить эти 4 цифры по 4 оставшимся местам. Задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 элементов.Используем ту же формулу для перестановок $P_n = n!$, но теперь $n = 4$.Вычислим количество чисел, начинающихся с 1:$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.Таким образом, существует 24 пятизначных числа, составленных из неповторяющихся нечётных цифр, которые начинаются с цифры 1.

Ответ: 24.

604 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются пятизначные числа, в которых все цифры разные.

а) Сколько из них делится на 5?

б) Сколько из них не делится на 5?

а) Сколько из них делится на 5?

Пятизначное число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из заданного набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} для этого подходит только цифра 5. По условию, все цифры в числе должны быть разными.

Таким образом, для делимости на 5, последняя цифра числа должна быть 5. Зафиксируем цифру 5 на последнем месте. Для оставшихся четырех позиций нужно расставить оставшиеся четыре цифры: {1, 2, 3, 4}.

Количество способов расставить 4 различных элемента по 4 местам равно числу перестановок из 4 элементов ($P_4$). Это вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае, количество таких чисел равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Следовательно, существует 24 пятизначных числа, составленных из данных цифр, которые делятся на 5.

Ответ: 24

б) Сколько из них не делится на 5?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Найти разность между общим количеством возможных чисел и количеством чисел, делящихся на 5.

Общее количество пятизначных чисел, которые можно составить из 5 различных цифр, равно числу перестановок из 5 элементов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Из пункта а) мы знаем, что 24 из этих чисел делятся на 5. Значит, количество чисел, которые не делятся на 5, равно:

$120 - 24 = 96$.

Способ 2. Выполнить прямой подсчет.

Число не будет делиться на 5, если его последняя цифра не 5 (и не 0). Из нашего набора {1, 2, 3, 4, 5} на последнее место можно поставить любую из цифр {1, 2, 3, 4}. То есть, для последней цифры есть 4 варианта.

После выбора последней цифры у нас остаются 4 неиспользованные цифры (включая цифру 5). Эти 4 цифры нужно расставить на оставшиеся 4 места в начале числа. Количество способов это сделать равно $P_4 = 4! = 24$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество искомых чисел равно произведению числа вариантов для последней цифры и числа вариантов для расстановки остальных цифр:

$4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 96

605 Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно составить пятизначное число из пяти уникальных цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Пятизначное число состоит из пяти разрядов (позиций).

Первая цифра (разряд десятков тысяч): На это место нельзя ставить 0, иначе число не будет пятизначным. Следовательно, у нас есть 4 варианта для первой цифры: 2, 4, 6 или 8.

Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходных пяти цифр осталось четыре. Теперь мы можем использовать 0. Значит, для второй позиции у нас также 4 варианта.

Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже заняты. Осталось 3 неиспользованные цифры. Следовательно, 3 варианта.

Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры заняты. Осталось 2 варианта.

Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры заняты. Остался всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции по правилу произведения:
$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Альтернативный способ решения:

Сначала найдем общее количество перестановок из пяти данных цифр. Это число равно факториалу 5:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Из этого количества нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с нуля, так как они не являются пятизначными числами. Если мы зафиксируем 0 на первой позиции, то для остальных четырех позиций нам нужно расставить оставшиеся 4 цифры (2, 4, 6, 8). Количество таких перестановок равно факториалу 4:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь вычтем "неправильные" комбинации из общего числа перестановок:
$120 - 24 = 96$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 96.

606 Сколько существует анаграмм слова:

а) «факториал»;

б) «перестановка»;

в) «комбинаторика»?

Указание. а) Временно считайте две буквы «а» различными буквами (обозначьте их «$a_1$» и «$a_2$») и сосчитайте всевозможные анаграммы. Далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв «$a_1$» и «$a_2$», на самом деле одинаковы.

а) «факториал»
Задача состоит в нахождении количества перестановок с повторениями. Общая формула для этого: $P(n; n_1, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$, где $n$ — общее число элементов, а $n_1, \dots, n_k$ — количество одинаковых элементов каждого типа.
Слово «факториал» состоит из $n=9$ букв.
Проанализируем состав слова: ф - 1, а - 2, к - 1, т - 1, о - 1, р - 1, и - 1, л - 1.
Здесь повторяется только буква 'а' ($n_1=2$ раза).
Следуя указанию в задаче, можно рассуждать так: если бы две буквы 'а' были различны (например, $а_1$ и $а_2$), то общее число перестановок 9 различных букв было бы $9!$. Однако, поскольку буквы 'а' на самом деле неразличимы, любая перестановка этих двух букв ($а_1$ и $а_2$) не создает новой анаграммы. Таких перестановок для двух букв 'а' существует $2!$. Поэтому общее число перестановок $9!$ нужно разделить на $2!$.
Число анаграмм:
$N = \frac{9!}{2!} = \frac{362\,880}{2} = 181\,440$.
Ответ: $181\,440$.

б) «перестановка»
Слово «перестановка» состоит из $n=12$ букв.
Проанализируем состав слова: п - 1, е - 2, р - 1, с - 1, т - 1, а - 2, н - 1, о - 1, в - 1, к - 1.
Повторяются две буквы: 'е' ($n_1=2$ раза) и 'а' ($n_2=2$ раза).
Используем формулу для перестановок с повторениями:
$N = \frac{12!}{2! \cdot 2!} = \frac{479\,001\,600}{2 \cdot 2} = \frac{479\,001\,600}{4} = 119\,750\,400$.
Ответ: $119\,750\,400$.

в) «комбинаторика»
Слово «комбинаторика» состоит из $n=13$ букв.
Проанализируем состав слова: к - 2, о - 2, м - 1, б - 1, и - 2, н - 1, а - 2, т - 1, р - 1.
Повторяются четыре буквы: 'к' ($n_1=2$ раза), 'о' ($n_2=2$ раза), 'и' ($n_3=2$ раза), 'а' ($n_4=2$ раза).
Используем формулу для перестановок с повторениями:
$N = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{13!}{16} = \frac{6\,227\,020\,800}{16} = 389\,188\,800$.
Ответ: $389\,188\,800$.

607 Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные — разных авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать принципы комбинаторики, в частности, перестановки.

1. Сначала рассмотрим 4 книги одного автора как один единый объект (блок), так как по условию они должны стоять рядом. Теперь у нас есть этот блок и оставшиеся $10 - 4 = 6$ книг разных авторов. Таким образом, мы должны расставить на полке $6 + 1 = 7$ объектов.

2. Количество способов расставить эти 7 различных объектов на полке равно числу перестановок из 7 элементов, которое вычисляется как $7!$ (7 факториал).

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.

3. Теперь рассмотрим сам блок, состоящий из 4 книг одного автора. Внутри этого блока книги также можно переставлять между собой. Поскольку книги, даже одного автора, как правило, различны (например, разные тома), количество способов их переставить равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $4!$.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.

4. По правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов расстановки, нужно умножить количество способов расстановки "блоков" на количество способов расстановки книг внутри блока.

Общее число способов $N$ равно:

$N = 7! \times 4! = 5040 \times 24 = 120960$.

Ответ: 120960 способов.

608 Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е. Мальчики садятся на нечётные места, а девочки — на чётные. Сколькими способами они могут это сделать?

В данной задаче нам нужно найти общее количество способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 местах в ряду при определенных условиях. Условия задачи следующие: всего 10 мест, пронумерованных с 1 по 10; пять мальчиков садятся на нечётные места; пять девочек садятся на чётные места.

Решение можно разбить на два независимых этапа: рассадка мальчиков и рассадка девочек.

Рассадка мальчиков

В ряду с 1 по 10 есть 5 нечётных мест: 1, 3, 5, 7, 9. На эти 5 мест нужно рассадить 5 мальчиков. Количество способов, которыми можно расположить $n$ различных объектов на $n$ различных позициях, называется числом перестановок и вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

В нашем случае $n=5$, поэтому количество способов рассадить мальчиков равно: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Рассадка девочек

Аналогично, в ряду есть 5 чётных мест: 2, 4, 6, 8, 10. На эти 5 мест нужно рассадить 5 девочек. Количество способов сделать это также равно числу перестановок из 5 элементов.

В нашем случае $n=5$, поэтому количество способов рассадить девочек равно: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Общее количество способов

Поскольку рассадка мальчиков и рассадка девочек — это независимые события, общее количество способов их совместного размещения находится по правилу произведения в комбинаторике. Мы должны умножить количество способов рассадки мальчиков на количество способов рассадки девочек.

Общее число способов $N$ равно: $N = (\text{число способов для мальчиков}) \times (\text{число способов для девочек}) = 5! \times 5!$

$N = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400.