Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

612 a) Сколько имеется вариантов рассадить президентов «Большой восьмёрки» за восьмиместным круглым столом переговоров?

б) Сколькими способами десять приятелей могут сесть на десятиместную карусель?

а)

Данная задача решается с помощью формулы для циклических перестановок. Когда мы рассаживаем $n$ различных объектов по кругу, количество уникальных расположений отличается от перестановок в ряд. Важным является только взаимное расположение объектов, а не их абсолютное положение.

Если бы мы рассаживали 8 президентов в ряд, количество способов было бы равно числу перестановок из 8 элементов, то есть $8!$. Однако за круглым столом расположения, которые можно получить друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.

Для подсчета уникальных расположений за круглым столом мы можем мысленно зафиксировать одного из президентов на одном месте. Тогда оставшихся $(n-1)$ президентов нужно рассадить на $(n-1)$ оставшихся мест. Это уже будет линейная перестановка.

Число способов рассадить $(n-1)$ человек на $(n-1)$ мест равно $(n-1)!$.

В нашем случае $n = 8$. Следовательно, количество вариантов рассадки равно:

$ (8 - 1)! = 7! $

Вычислим значение факториала:

$ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 $

Ответ: 5040

б)

Эта задача, как и предыдущая, является задачей на циклические перестановки. У нас есть 10 друзей и 10-местная карусель, которая представляет собой круговое расположение мест.

Мы снова используем формулу для циклических перестановок из $n$ различных элементов, которая равна $(n-1)!$.

В данном случае количество друзей $n=10$. Таким образом, количество способов, которыми они могут сесть на карусель, вычисляется следующим образом:

$ (10 - 1)! = 9! $

Вычислим значение факториала:

$ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\,880 $

Ответ: 362 880

613 Двенадцать девочек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Это задача на круговые перестановки из раздела комбинаторики.

Если бы 12 девочек нужно было расставить в ряд, то количество способов было бы равно числу перестановок из 12 элементов, то есть $12!$. Это потому, что на первое место можно поставить любую из 12 девочек, на второе — любую из 11 оставшихся, и так далее.

Однако, когда девочки становятся в круг (хоровод), у нас нет фиксированной начальной или конечной позиции. Расположения, которые можно получить друг из друга простым поворотом круга, считаются одинаковыми. Например, если мысленно пронумеровать девочек, то комбинация, где они стоят в порядке 1-2-3-...-12, будет неотличима от комбинации 2-3-4-...-12-1, 3-4-5-...-1-2 и так далее.

Для каждой уникальной расстановки в кругу существует ровно 12 таких "повернутых" копий, которые в линейной расстановке считались бы разными. Поэтому, чтобы найти число уникальных круговых перестановок, нужно общее число линейных перестановок ($12!$) разделить на количество элементов (12).

Число различных способов $N$ для $n$ элементов в круге вычисляется по формуле:

$N = \frac{n!}{n} = (n-1)!$

В нашем случае $n = 12$, поэтому количество способов равно:

$N = (12-1)! = 11!$

Теперь вычислим значение факториала:

$11! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 = 39 \, 916 \, 800$

Можно рассуждать и иначе: зафиксируем одну из девочек на любом месте. Поскольку круг можно вращать, неважно, какое именно место она займет, это будет наша точка отсчета. Теперь оставшихся 11 девочек нужно расставить на 11 оставшихся мест. Это уже обычная линейная перестановка, и число способов сделать это равно $11!$.

Ответ: $39 \, 916 \, 800$

614 Сколько ожерелий можно составить из 20 различных бусин?

Сколько ожерелий можно составить из 20 различных бусин?

Решение этой задачи по комбинаторике требует учета двух типов симметрии: вращательной (циклической) и зеркальной (возможности перевернуть ожерелье).

1. Сначала определим количество способов, которыми можно расположить 20 различных бусин в один ряд. Это стандартная задача на перестановки, и количество таких способов равно $20!$ (20 факториал).

2. Когда мы соединяем концы ряда, чтобы сформировать ожерелье, мы создаем круговое расположение. В круговом расположении варианты, которые можно получить друг из друга простым поворотом, считаются одним и тем же. Для любого расположения бусин существует 20 его копий, которые получаются циклическим сдвигом (включая исходное). Следовательно, чтобы найти количество уникальных круговых перестановок, нужно разделить общее число линейных перестановок на количество бусин $n$.

Формула для числа круговых перестановок из $n$ различных элементов:

$N_{круговые} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$

Для 20 бусин ($n=20$) число круговых перестановок составляет:

$(20-1)! = 19!$

3. Ожерелье можно не только вращать, но и переворачивать. При переворачивании ожерелья мы видим его зеркальное отражение. Порядок следования бусин становится обратным (например, с "по часовой стрелке" на "против часовой стрелки"). Если расположение не является симметричным относительно оси отражения, то его зеркальный образ — это другое круговое расположение из тех, что мы посчитали на шаге 2. Таким образом, два разных круговых расположения (оригинал и его отражение) образуют одно и то же ожерелье. Это означает, что для нахождения итогового числа уникальных ожерелий мы должны разделить количество круговых перестановок на 2. Эта формула справедлива для $n > 2$.

Формула для количества ожерелий из $n$ различных бусин:

$N_{ожерелье} = \frac{(n-1)!}{2}$

Подставим наше значение $n=20$:

$N_{ожерелье} = \frac{(20-1)!}{2} = \frac{19!}{2}$

Вычислим это значение. Сначала найдем $19!$:

$19! = 121 \ 645 \ 100 \ 408 \ 832 \ 000$

Теперь разделим результат на 2:

$\frac{19!}{2} = \frac{121 \ 645 \ 100 \ 408 \ 832 \ 000}{2} = 60 \ 822 \ 550 \ 204 \ 416 \ 000$

Ответ: $\frac{19!}{2}$ или $60 \ 822 \ 550 \ 204 \ 416 \ 000$.

615 Упростите выражение:

а) $\frac{5a^2 b^8 c^3}{25a^5 bc^2}$;

б) $\frac{24a^5 b^6}{48a^5 b^3}$;

в) $\frac{16xyz^7}{24x^2 y^3 z^2}$;

г) $\frac{36x^5 yz^5}{12x^6 y^2 z^5}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{5a^2b^8c^3}{25a^5bc^2} $, мы разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе. Для этого воспользуемся свойством степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.

1. Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $.

2. Упростим степени переменной $a$: $ \frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3} = \frac{1}{a^3} $.

3. Упростим степени переменной $b$ (учитывая, что $b$ в знаменателе имеет степень 1): $ \frac{b^8}{b^1} = b^{8-1} = b^7 $.

4. Упростим степени переменной $c$: $ \frac{c^3}{c^2} = c^{3-2} = c^1 = c $.

Теперь соберем все части вместе, умножив полученные результаты:

$ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot b^7 \cdot c = \frac{b^7c}{5a^3} $.

Ответ: $ \frac{b^7c}{5a^3} $.

б) Упростим выражение $ \frac{24a^5b^6}{48a^5b^3} $, разделив числитель на знаменатель по частям.

1. Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{24}{48} = \frac{1}{2} $.

2. Упростим степени переменной $a$: $ \frac{a^5}{a^5} = a^{5-5} = a^0 = 1 $ (при условии, что $a \neq 0$).

3. Упростим степени переменной $b$: $ \frac{b^6}{b^3} = b^{6-3} = b^3 $.

Соединим полученные результаты:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot b^3 = \frac{b^3}{2} $.

Ответ: $ \frac{b^3}{2} $.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{16xyz^7}{24x^2y^3z^2} $. Упростим его, сокращая общие множители.

1. Сократим числовые коэффициенты, найдя их наибольший общий делитель, который равен 8: $ \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $.

2. Упростим степени переменной $x$: $ \frac{x}{x^2} = \frac{x^1}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x} $.

3. Упростим степени переменной $y$: $ \frac{y}{y^3} = \frac{y^1}{y^3} = y^{1-3} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} $.

4. Упростим степени переменной $z$: $ \frac{z^7}{z^2} = z^{7-2} = z^5 $.

Объединим все упрощенные части, перемножив их:

$ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^2} \cdot z^5 = \frac{2z^5}{3xy^2} $.

Ответ: $ \frac{2z^5}{3xy^2} $.

г) Для упрощения выражения $ \frac{36x^5yz^5}{12x^6y^2z^5} $ выполним следующие действия по сокращению дроби.

1. Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{36}{12} = 3 $.

2. Упростим степени переменной $x$: $ \frac{x^5}{x^6} = x^{5-6} = x^{-1} = \frac{1}{x} $.

3. Упростим степени переменной $y$: $ \frac{y}{y^2} = \frac{y^1}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y} $.

4. Упростим степени переменной $z$: $ \frac{z^5}{z^5} = z^{5-5} = z^0 = 1 $ (при условии, что $z \neq 0$).

Соберем все части в одно выражение:

$ 3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{3}{xy} $.

Ответ: $ \frac{3}{xy} $.

616 Запишите произведение:

а) $32 \cdot 128$ в виде степени числа 2;

б) $162 \cdot 81$ в виде степени числа 3;

в) $125 \cdot 625$ в виде степени числа 5;

г) $0,0001 \cdot 0,0001$ в виде степени числа 0,1.

а) Чтобы представить произведение $32 \cdot 128$ в виде степени числа 2, необходимо сначала представить каждый из множителей в виде степени с основанием 2.

Представим число 32 как степень двойки: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $8 \cdot 2 = 16$, $16 \cdot 2 = 32$. Таким образом, $32 = 2^5$.

Представим число 128 как степень двойки: $32 \cdot 2 = 64$, $64 \cdot 2 = 128$. Таким образом, $128 = 2^7$.

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$32 \cdot 128 = 2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$.

Ответ: $2^{12}$.

б) Чтобы представить произведение $162 \cdot 81$ в виде степени числа 3, представим каждый множитель через степени числа 3.

Число 81 является четвертой степенью числа 3: $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Разложим число 162 на простые множители, чтобы выделить степень тройки: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$. Как видим, число 162 не является степенью числа 3, так как содержит множитель 2.

Теперь перемножим полученные выражения:

$162 \cdot 81 = (2 \cdot 3^4) \cdot 3^4$.

Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$2 \cdot (3^4 \cdot 3^4) = 2 \cdot 3^{4+4} = 2 \cdot 3^8$.

Поскольку в полученном выражении присутствует множитель 2, его нельзя представить в виде степени с основанием 3. Поэтому мы записываем его в максимально упрощенном виде.

Ответ: $2 \cdot 3^8$.

в) Чтобы представить произведение $125 \cdot 625$ в виде степени числа 5, представим каждый множитель в виде степени с основанием 5.

Число 125 это третья степень числа 5: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Число 625 это четвертая степень числа 5: $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$125 \cdot 625 = 5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$.

Ответ: $5^7$.

г) Чтобы представить произведение $0,00001 \cdot 0,0001$ в виде степени числа 0,1, представим каждый множитель в виде степени с основанием 0,1.

Количество знаков после запятой в десятичной дроби указывает на показатель степени числа 0,1.

В числе 0,00001 пять знаков после запятой, следовательно, $0,00001 = 0,1^5$.

В числе 0,0001 четыре знака после запятой, следовательно, $0,0001 = 0,1^4$.

Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0,00001 \cdot 0,0001 = 0,1^5 \cdot 0,1^4 = 0,1^{5+4} = 0,1^9$.

Ответ: $0,1^9$.

617 Выполните действия:

a) $12 \cdot \left(\frac{x^3}{4}\right)^2;$

б) $\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{2a^2}{b}\right)^3;$

в) $\left(\frac{3c}{2}\right)^3 \cdot \left(-\frac{c^2}{3}\right)^2;$

г) $\left(\frac{3y}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2.$

а) Чтобы выполнить действия в выражении $12 \cdot (\frac{x^3}{4})^2$, сначала возведем в квадрат дробь в скобках. Для этого используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{x^3}{4})^2 = \frac{(x^3)^2}{4^2}$
Далее, применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к числителю и вычисляем знаменатель:
$\frac{x^{3 \cdot 2}}{16} = \frac{x^6}{16}$
Теперь умножим полученный результат на 12:
$12 \cdot \frac{x^6}{16} = \frac{12x^6}{16}$
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{12x^6}{16} = \frac{3 \cdot 4 \cdot x^6}{4 \cdot 4} = \frac{3x^6}{4}$
Ответ: $\frac{3x^6}{4}$

б) В выражении $\frac{1}{8} \cdot (\frac{2a^2}{b})^3$ сначала возведем в куб дробь в скобках:
$(\frac{2a^2}{b})^3 = \frac{(2a^2)^3}{b^3}$
Применяя свойства степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$, раскроем скобки в числителе:
$\frac{2^3 \cdot (a^2)^3}{b^3} = \frac{8a^{2 \cdot 3}}{b^3} = \frac{8a^6}{b^3}$
Теперь умножим полученное выражение на $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{8} \cdot \frac{8a^6}{b^3} = \frac{8a^6}{8b^3}$
Сократим дробь на 8:
$\frac{a^6}{b^3}$
Ответ: $\frac{a^6}{b^3}$

в) Рассмотрим выражение $(\frac{3c}{2})^3 \cdot (-\frac{c^2}{3})^2$. Возведем каждый множитель в соответствующую степень. Так как отрицательное число в четной степени становится положительным, $(-\frac{c^2}{3})^2 = (\frac{c^2}{3})^2$.
Выражение примет вид:
$\frac{(3c)^3}{2^3} \cdot \frac{(c^2)^2}{3^2}$
Раскроем скобки и вычислим степени:
$\frac{3^3 c^3}{8} \cdot \frac{c^{2 \cdot 2}}{9} = \frac{27c^3}{8} \cdot \frac{c^4}{9}$
Перемножим дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$):
$\frac{27c^3 \cdot c^4}{8 \cdot 9} = \frac{27c^7}{72}$
Сократим числовой коэффициент дроби на 9:
$\frac{27c^7}{72} = \frac{3 \cdot 9 \cdot c^7}{8 \cdot 9} = \frac{3c^7}{8}$
Ответ: $\frac{3c^7}{8}$

г) В выражении $(\frac{3y}{2})^4 \cdot (\frac{2}{3})^2$ возведем в степень каждый из сомножителей:
$\frac{(3y)^4}{2^4} \cdot \frac{2^2}{3^2}$
Вычислим степени чисел и раскроем скобки:
$\frac{3^4 y^4}{16} \cdot \frac{4}{9} = \frac{81y^4}{16} \cdot \frac{4}{9}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{81y^4 \cdot 4}{16 \cdot 9}$
Выполним сокращение: сократим 81 и 9 на 9, а 4 и 16 на 4:
$\frac{(9 \cdot 9) \cdot 4 \cdot y^4}{(4 \cdot 4) \cdot 9} = \frac{9y^4}{4}$
Ответ: $\frac{9y^4}{4}$

618 Найдите значение выражения при заданных значениях переменной:

а) $\frac{(2x)^4}{(4x)^2}$ при $x = -\frac{2}{3}$;

б) $\frac{(9y)^3}{(3y)^5}$ при $y = \frac{1}{3}$;

в) $\frac{(2a)^3(2a)^2}{(4a)^2}$ при $a = -0,1$;

г) $\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6}$ при $c = -0,5$.

а) Сначала упростим выражение $\frac{(2x)^4}{(4x^2)^2}$.
Для этого используем свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Раскроем скобки в числителе: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
Раскроем скобки в знаменателе: $(4x^2)^2 = 4^2 \cdot (x^2)^2 = 16x^4$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{16x^4}{16x^4} = 1$.
Это равенство верно для любого значения $x$, при котором знаменатель не обращается в ноль (т.е. $x \neq 0$).
Так как по условию $x = -\frac{2}{3} \neq 0$, значение выражения не зависит от $x$ и равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение $\frac{(9y)^3}{(3y)^5}$.
Раскроем скобки, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$:
Числитель: $(9y)^3 = 9^3 \cdot y^3 = 729y^3$.
Знаменатель: $(3y)^5 = 3^5 \cdot y^5 = 243y^5$.
Выражение принимает вид: $\frac{729y^3}{243y^5}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{729}{243} = 3$.
Сократим степени переменной, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{y^3}{y^5} = y^{3-5} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3}{y^2}$.
Теперь подставим в него значение $y = \frac{1}{3}$:
$\frac{3}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{\frac{1}{9}} = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27

в) Упростим выражение $\frac{(2a)^3(2a)^2}{(4a)^2}$.
В числителе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(2a)^3(2a)^2 = (2a)^{3+2} = (2a)^5$.
Выражение примет вид $\frac{(2a)^5}{(4a)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
Числитель: $(2a)^5 = 2^5 \cdot a^5 = 32a^5$.
Знаменатель: $(4a)^2 = 4^2 \cdot a^2 = 16a^2$.
Получаем дробь: $\frac{32a^5}{16a^2}$.
Сокращаем ее: $\frac{32}{16} \cdot \frac{a^5}{a^2} = 2 \cdot a^{5-2} = 2a^3$.
Теперь подставим значение $a = -0,1$ в упрощенное выражение:
$2 \cdot (-0,1)^3 = 2 \cdot (-0,001) = -0,002$.
Ответ: -0,002

г) Упростим выражение $\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6}$.
Сократим дробь на $(4c)^5$:
$\frac{(4c)^5(2c)^6}{(4c)^6} = \frac{(2c)^6}{(4c)^{6-5}} = \frac{(2c)^6}{4c}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(2c)^6 = 2^6 \cdot c^6 = 64c^6$.
Выражение примет вид $\frac{64c^6}{4c}$.
Сократим коэффициенты и переменную:
$\frac{64}{4} \cdot \frac{c^6}{c} = 16 \cdot c^{6-1} = 16c^5$.
Теперь подставим значение $c = -0,5$ в упрощенное выражение.
Можно представить $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$:
$16 \cdot (-0,5)^5 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^5 = 16 \cdot (-\frac{1^5}{2^5}) = 16 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{16}{32} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Ответ: -0,5