Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Упростите выражение $a^2b^3aba^3$.

Чтобы упростить выражение $a^2b^3aba^3$, необходимо сгруппировать множители с одинаковыми основаниями и применить свойство умножения степеней, согласно которому при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
1. Сгруппируем множители с основанием $a$ и с основанием $b$. Для этого воспользуемся переместительным свойством умножения:
$a^2b^3aba^3 = (a^2 \cdot a \cdot a^3) \cdot (b^3 \cdot b)$
2. Упростим каждую группу. Учтем, что переменная без явно указанной степени имеет степень 1, то есть $a = a^1$ и $b = b^1$.
Для переменной $a$:
$a^2 \cdot a^1 \cdot a^3 = a^{2+1+3} = a^6$
Для переменной $b$:
$b^3 \cdot b^1 = b^{3+1} = b^4$
3. Объединим полученные результаты, чтобы получить окончательное упрощенное выражение:
$a^6b^4$
Ответ: $a^6b^4$

2 Выполните умножение $a^2 \cdot a^n$.

Для того чтобы выполнить умножение $a^2 \cdot a^n$, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием.

Согласно этому свойству, при умножении двух степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а их показатели складываются. Общая формула выглядит следующим образом: $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$

В нашем выражении $a^2 \cdot a^n$ основанием является a, а показателями степеней — 2 и n.

Применим правило, сложив показатели: $a^2 \cdot a^n = a^{2 + n}$

Так как n — это переменная, дальнейшее сложение в показателе степени невозможно. Результат остается в виде $a^{2+n}$.

Ответ: $a^{2+n}$

Выполните умножение $a^3 \cdot a^2$.

3 Значение какого из выражений равно $2^{11}$?

1) $2^{12} - 2$

2) $2^{12} : 2$

3) $2^{22} : 2$

4) $2^{22} : 2^2$

Для того чтобы определить, какое из предложенных выражений равно $2^{11}$, необходимо упростить каждое из них, используя свойства степеней. Основное свойство, которое нам понадобится, — это деление степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Важно помнить, что число 2 можно представить в виде степени как $2^1$.

1) $2^{12} - 2$
В этом выражении используется операция вычитания. Мы можем вынести общий множитель 2 за скобки, чтобы упростить его:
$2^{12} - 2 = 2 \cdot 2^{11} - 2 \cdot 1 = 2(2^{11} - 1)$.
Результат не равен $2^{11}$.
Ответ: $2(2^{11} - 1)$.

2) $2^{12} : 2$
Используем свойство деления степеней. Представим 2 как $2^1$:
$2^{12} : 2 = 2^{12} : 2^1 = 2^{12-1} = 2^{11}$.
Значение этого выражения равно $2^{11}$.
Ответ: $2^{11}$.

3) $2^{22} : 2$
Так же, как и в предыдущем пункте, применим свойство деления степеней:
$2^{22} : 2 = 2^{22} : 2^1 = 2^{22-1} = 2^{21}$.
Результат не равен $2^{11}$.
Ответ: $2^{21}$.

4) $2^{22} : 2^2$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$2^{22} : 2^2 = 2^{22-2} = 2^{20}$.
Результат не равен $2^{11}$.
Ответ: $2^{20}$.

Таким образом, единственное выражение, значение которого равно $2^{11}$, находится под номером 2.

4 Какая из дробей равна выражению $a^{k-1}$?

1) $\frac{a^k}{a}$

2) $\frac{a^{k-1}}{a}$

3) $\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}}$

4) $\frac{a^k}{a^{k-1}}$

Чтобы найти, какая из дробей равна выражению $a^{k-1}$, нужно упростить каждую из предложенных дробей, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. Проанализируем каждый вариант.

1) Проверим дробь $\frac{a^k}{a}$.

Поскольку любое число без показателя степени можно представить со степенью 1 (то есть, $a = a^1$), мы можем применить правило деления степеней:

$\frac{a^k}{a} = \frac{a^k}{a^1} = a^{k-1}$

Полученное выражение полностью совпадает с искомым.

Ответ: дробь $\frac{a^k}{a}$ равна выражению $a^{k-1}$.

2) Проверим дробь $\frac{a^{k-1}}{a}$.

Применим то же правило деления степеней:

$\frac{a^{k-1}}{a} = \frac{a^{k-1}}{a^1} = a^{(k-1)-1} = a^{k-2}$

Полученное выражение $a^{k-2}$ не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь $\frac{a^{k-1}}{a}$ не равна выражению $a^{k-1}$.

3) Проверим дробь $\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}}$.

Вычтем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}} = a^{(k+1) - (k-1)} = a^{k+1-k+1} = a^2$

Полученное выражение $a^2$ не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь $\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}}$ не равна выражению $a^{k-1}$.

4) Проверим дробь $\frac{a^k}{a^{k-1}}$.

Выполним вычитание показателей степеней:

$\frac{a^k}{a^{k-1}} = a^{k - (k-1)} = a^{k-k+1} = a^1 = a$

Полученное выражение $a$ не равно $a^{k-1}$.

Ответ: дробь $\frac{a^k}{a^{k-1}}$ не равна выражению $a^{k-1}$.

5 Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки.

А) $a^{10} \cdot a^2$

Б) $(a^{10})^2$

В) $a^{10} : a^2$

Г) $(a \cdot a^{10})^2$

1) $a^5$

2) $a^8$

3) $a^{12}$

4) $a^{20}$

5) $a^{22}$

Для каждого выражения из верхней строки найдем соответствующее ему равное выражение из нижней строки, упростив каждое из них с использованием свойств степеней.

А) $a^{10} \cdot a^2$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{10} \cdot a^2 = a^{10+2} = a^{12}$

Это выражение соответствует варианту 3) из нижней строки.

Ответ: 3.

Б) $(a^{10})^2$

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$

Это выражение соответствует варианту 4) из нижней строки.

Ответ: 4.

В) $a^{10} : a^2$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$a^{10} : a^2 = a^{10-2} = a^8$

Это выражение соответствует варианту 2) из нижней строки.

Ответ: 2.

Г) $(a \cdot a^{10})^2$

Сначала упростим выражение в скобках, помня, что $a = a^1$. Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a \cdot a^{10} = a^1 \cdot a^{10} = a^{1+10} = a^{11}$

Затем возведем полученный результат во вторую степень по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^{11})^2 = a^{11 \cdot 2} = a^{22}$

Это выражение соответствует варианту 5) из нижней строки.

Ответ: 5.

6 Известно, что $5^5 = 3125$. Найдите $5^6$.

Для того чтобы найти значение $5^6$, можно использовать данное в условии значение $5^5 = 3125$ и свойство степеней.

Степень $5^6$ можно представить в виде произведения, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

В нашем случае:

$5^6 = 5^{5+1} = 5^5 \cdot 5^1 = 5^5 \cdot 5$

Теперь подставим известное значение $5^5 = 3125$ в полученное выражение:

$5^6 = 3125 \cdot 5$

Осталось вычислить произведение:

$3125 \cdot 5 = 15625$

Ответ: 15625.

7 Упростите выражение $\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}}$ и найдите его значение при $a = -\frac{1}{3}$.

Упростите выражение $\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^9 \cdot a^3 = a^{9+3} = a^{12}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{a^{12}}{a^{10}}$. Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием, согласно которому их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{12}}{a^{10}} = a^{12-10} = a^2$

Ответ: $a^2$.

Найдите его значение при $a = -\frac{1}{3}$

Подставим заданное значение $a = -\frac{1}{3}$ в полученное упрощенное выражение $a^2$.

$a^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2$

При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) результат будет положительным. Возводим в квадрат и числитель, и знаменатель дроби.

$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

8 Упростите выражение $(-x)^2(-x)^3(-x^3)^2$.

1) $x^{36}$

2) $-x^{36}$

3) $x^{11}$

4) $-x^{11}$

Для упрощения выражения $(-x)^2(-x)^3(-x^3)^2$ необходимо последовательно применить свойства степеней к каждому из множителей.

Сначала упростим первый множитель $(-x)^2$. Так как показатель степени 2 является четным числом, то при возведении в степень отрицательного основания результат будет положительным: $(-x)^2 = x^2$.

Далее упростим второй множитель $(-x)^3$. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, то знак минус сохраняется: $(-x)^3 = -x^3$.

Теперь упростим третий множитель $(-x^3)^2$. В этом выражении в четную степень 2 возводится $-x^3$. Знак минус исчезает, а для переменной $x$ используем правило возведения степени в степень, согласно которому показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Таким образом, $(-x^3)^2 = (x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Теперь перемножим все полученные упрощенные выражения:

$x^2 \cdot (-x^3) \cdot x^6$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Учитывая, что в произведении есть один знак минус, итоговый результат будет отрицательным:

$x^2 \cdot (-x^3) \cdot x^6 = - (x^2 \cdot x^3 \cdot x^6) = -x^{2+3+6} = -x^{11}$.

Ответ: $-x^{11}$

9 Возведите в куб выражение $-2a^{20}c^{12}x$.

Чтобы возвести одночлен $-2a^{20}c^{12}x$ в куб, необходимо каждый его множитель (коэффициент и переменные) возвести в третью степень.

Запишем операцию возведения в куб:

$$(-2a^{20}c^{12}x)^3$$

Воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Применив это правило, мы получим:

$$(-2)^3 \cdot (a^{20})^3 \cdot (c^{12})^3 \cdot (x)^3$$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:

1. Возводим в куб числовой коэффициент:

   $$(-2)^3 = -8$$

2. Возводим в куб переменную $a$ в степени. Для этого используем свойство возведения степени в степень $(p^m)^n = p^{m \cdot n}$:

   $$(a^{20})^3 = a^{20 \cdot 3} = a^{60}$$

3. Аналогично поступаем с переменной $c$:

   $$(c^{12})^3 = c^{12 \cdot 3} = c^{36}$$

4. Возводим в куб переменную $x$:

   $$(x)^3 = x^3$$

Наконец, объединяем все полученные результаты, перемножая их:

$$-8 \cdot a^{60} \cdot c^{36} \cdot x^3$$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

Ответ: $-8a^{60}c^{36}x^3$

10 Выполните действие $\left(\frac{3x}{y^3}\right)^2$.

1) $\frac{9x^2}{y^6}$

2) $\frac{6x^2}{y^6}$

3) $\frac{3x^2}{y^3}$

4) $\frac{3x^2}{y^6}$

Для решения данной задачи необходимо возвести алгебраическую дробь в степень. Для этого используются следующие свойства степеней:
1. Возведение дроби в степень: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $
2. Возведение произведения в степень: $ (ab)^n = a^n b^n $
3. Возведение степени в степень: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $

Рассмотрим исходное выражение: $ \left( \frac{3x}{y^3} \right)^2 $.

Шаг 1: Применим правило возведения дроби в степень. Для этого возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби по отдельности.
$ \left( \frac{3x}{y^3} \right)^2 = \frac{(3x)^2}{(y^3)^2} $

Шаг 2: Упростим выражение в числителе. Возведем каждый множитель в квадрат.
$ (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 $

Шаг 3: Упростим выражение в знаменателе. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$ (y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6 $

Шаг 4: Соберем полученные числитель и знаменатель в одну дробь.
$ \frac{9x^2}{y^6} $

Полученный результат совпадает с вариантом ответа под номером 1.

Ответ: $ \frac{9x^2}{y^6} $

11 Какое из данных выражений можно представить в виде $(a^3b)^2$?

1) $a^6b^2$

2) $-a^6b^2$

3) $a^5b^2$

4) $-a^5b^2$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений можно представить в виде $(a^3b)^2$, необходимо упростить это выражение, используя свойства степеней.

Сначала воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$.
Применяя это правило, получаем:
$(a^3b)^2 = (a^3)^2 \cdot b^2$

Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим его к первому множителю:
$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

Таким образом, исходное выражение равно:
$(a^3b)^2 = a^6b^2$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.

1) $a^6b^2$
Этот вариант полностью совпадает с полученным нами выражением $a^6b^2$. Следовательно, это правильный ответ.

2) $-a^6b^2$
Этот вариант не подходит, так как результат возведения в квадрат $(a^3b)^2$ всегда неотрицателен (для действительных $a$ и $b$), а выражение $-a^6b^2$ является неположительным.

3) $a^5b^2$
Этот вариант не подходит, так как показатель степени у переменной $a$ равен 5, а в нашем результате он равен 6 ($a^5 \ne a^6$).

4) $-a^5b^2$
Этот вариант не подходит как из-за неверного знака, так и из-за неверного показателя степени у переменной $a$.

Итак, единственное выражение, которое можно представить в виде $(a^3b)^2$, это $a^6b^2$.

Ответ: 1

12 Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба?

1) $a^3 c^6$

2) $-a^3 c^6$

3) $-a^2 c^2$

4) $(-a)^2 b^2$

Для того чтобы алгебраическое выражение (одночлен) можно было представить в виде квадрата, необходимо, чтобы все показатели степеней его переменных были четными числами, а числовой коэффициент (если он есть) был неотрицательным и являлся квадратом некоторого числа.

Для того чтобы выражение можно было представить в виде куба, необходимо, чтобы все показатели степеней его переменных были кратны трем, а числовой коэффициент (если он есть) являлся кубом некоторого числа.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $a^3c^6$

Проверим, является ли выражение квадратом. Показатель степени у переменной $a$ равен 3. Так как 3 — нечетное число, данное выражение нельзя представить в виде квадрата.

Проверим, является ли выражение кубом. Показатель степени у $a$ равен 3 (делится на 3), у $c$ равен 6 (делится на 3). Таким образом, выражение можно представить в виде куба: $a^3c^6 = (a^{3/3}c^{6/3})^3 = (ac^2)^3$.

2) $-a^3c^6$

Проверим, является ли выражение квадратом. Коэффициент перед выражением равен -1. Квадрат любого действительного выражения не может быть отрицательным, поэтому данное выражение нельзя представить в виде квадрата.

Проверим, является ли выражение кубом. Коэффициент -1 является кубом числа -1 (так как $(-1)^3 = -1$). Показатели степеней 3 и 6 делятся на 3. Следовательно, выражение можно представить в виде куба: $-a^3c^6 = (-1 \cdot ac^2)^3 = (-ac^2)^3$.

3) $-a^2c^2$

Проверим, является ли выражение квадратом. Коэффициент -1 является отрицательным, поэтому выражение нельзя представить в виде квадрата.

Проверим, является ли выражение кубом. Показатели степеней у переменных $a$ и $c$ равны 2. Число 2 не делится на 3, поэтому выражение нельзя представить в виде куба.

4) $(-a)^2b^2$

Сначала упростим выражение: $(-a)^2b^2 = a^2b^2$.

Проверим, является ли выражение квадратом. Показатели степеней у $a$ и $b$ равны 2. Оба показателя четные. Следовательно, выражение можно представить в виде квадрата: $a^2b^2 = (ab)^2$. Так как выражение можно представить в виде квадрата, оно не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное выражение из предложенных, которое нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба, — это $-a^2c^2$.

Ответ: 3

13 Вычислите $\frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3}$

Для вычисления значения выражения $ \frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3} $ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. В первую очередь упростим выражения в числителе и знаменателе, где степень возводится в степень. Для этого используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В числителе: $(7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8$.
В знаменателе: $(7^5)^3 = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15}$.

2. Подставим полученные значения обратно в дробь: $$ \frac{7^5 \cdot 7^8}{7^{15}} $$

3. Теперь упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ 7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13} $$

4. После упрощения числителя выражение примет вид: $$ \frac{7^{13}}{7^{15}} $$

5. Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \frac{7^{13}}{7^{15}} = 7^{13-15} = 7^{-2} $$

6. Наконец, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, вычислим окончательный результат: $$ 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} $$

Ответ: $\frac{1}{49}$.

14 Найдите значение выражения $\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8}$.

1) $\frac{1}{24}$

2) $2\frac{1}{4}$

3) $1\frac{1}{2}$

4) 1296

Чтобы найти значение выражения, преобразуем числитель и знаменатель дроби, разложив основания степеней на простые множители.

Основание 8 можно представить как $2^3$.

Основание 9 можно представить как $3^2$.

Основание 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} = \frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а при возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$).

$\frac{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^6}{2^8} \cdot \frac{3^{10}}{3^8} = 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2$

Вычислим полученное значение. Учтем, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Переведем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число:

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $2\frac{1}{4}$

15 При каком значении $x$ верно равенство $2^x \cdot 2^5 = 1024$?

1) при $x = 2$

2) при $x = 3$

3) при $x = 5$

4) при $x = 10$

Для того чтобы найти значение x, решим показательное уравнение $2^x \cdot 2^5 = 1024$.

Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это правило, мы получим: $2^x \cdot 2^5 = 2^{x+5}$.

Теперь представим правую часть уравнения, число 1024, в виде степени с основанием 2. Известно, что $2^{10} = 1024$.

После преобразований обеих частей исходное уравнение можно переписать в виде: $2^{x+5} = 2^{10}$.

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $x+5 = 10$.

Решаем полученное линейное уравнение, чтобы найти x: $x = 10 - 5$ $x = 5$.

Проверим полученный результат, подставив $x=5$ в исходное уравнение: $2^5 \cdot 2^5 = 32 \cdot 32 = 1024$. $1024 = 1024$. Равенство верно.

Ответ: 3) при $x=5$

16 Какое из следующих неравенств неверно?

1) $9^{10} < 3^{21}$

2) $9^{10} < 5^{20}$

3) $6^{10} < 3^{20}$

4) $6^{10} < 2^{20}$

Для того чтобы определить, какое из неравенств неверно, проанализируем каждое из них, приводя степени к общему основанию или общему показателю.

1) $9^{10} < 3^{21}$
Приведем левую часть неравенства к основанию 3. Поскольку $9 = 3^2$, мы можем переписать левую часть:
$9^{10} = (3^2)^{10}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20}$
Теперь неравенство принимает вид: $3^{20} < 3^{21}$.
Так как основание степени $3 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение. Поскольку $20 < 21$, неравенство $3^{20} < 3^{21}$ является верным.
Ответ: верно.

2) $9^{10} < 5^{20}$
Приведем степени к общему показателю 10. Правую часть можно представить в виде:
$5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$
Теперь сравним $9^{10}$ и $25^{10}$.
Так как показатели степеней равны (10), а основания — положительные числа, то больше то число, у которого больше основание. Поскольку $9 < 25$, то $9^{10} < 25^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $9^{10} < 5^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

3) $6^{10} < 3^{20}$
Приведем степени к общему показателю 10, как и в предыдущем пункте.
$3^{20} = 3^{2 \cdot 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$
Сравниваем $6^{10}$ и $9^{10}$.
Показатели степеней равны, а основания положительны. Так как $6 < 9$, то $6^{10} < 9^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $6^{10} < 3^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

4) $6^{10} < 2^{20}$
Снова приведем степени к общему показателю 10.
$2^{20} = 2^{2 \cdot 10} = (2^2)^{10} = 4^{10}$
Сравниваем $6^{10}$ и $4^{10}$.
Показатели степеней равны, а основания положительны. Так как $6 > 4$, то должно выполняться неравенство $6^{10} > 4^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $6^{10} < 2^{20}$ (которое эквивалентно $6^{10} < 4^{10}$) является неверным.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является неравенство под номером 4.