Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Приведите подобные члены многочлена (644–645).

644 a) $12n^2 + 5m - n^2 - 4m;$

б) $-a^2 - b^2 + 2a^2 - b^2;$

в) $2m^3 + n^2 - 1 - n^2 + 2m^3;$

г) $3x^3 - 2y - 5x^3 - 2 + 2y - 7.$

а) Чтобы привести подобные члены в многочлене $12n^2 + 5m - n^2 - 4m$, нужно сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобными являются $12n^2$ и $-n^2$, а также $5m$ и $-4m$.

Сгруппируем их: $(12n^2 - n^2) + (5m - 4m)$.

Теперь выполним действия с коэффициентами для каждой группы подобных членов:

$12n^2 - n^2 = (12-1)n^2 = 11n^2$

$5m - 4m = (5-4)m = 1m = m$

Сложим полученные результаты: $11n^2 + m$.

Ответ: $11n^2 + m$.

б) В многочлене $-a^2 - b^2 + 2a^2 - b^2$ подобными членами являются $-a^2$ и $2a^2$, а также $-b^2$ и $-b^2$.

Сгруппируем их: $(-a^2 + 2a^2) + (-b^2 - b^2)$.

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$-a^2 + 2a^2 = (-1+2)a^2 = 1a^2 = a^2$

$-b^2 - b^2 = (-1-1)b^2 = -2b^2$

Результатом будет многочлен: $a^2 - 2b^2$.

Ответ: $a^2 - 2b^2$.

в) В выражении $2m^3 + n^2 - 1 - n^2 + 2m^3$ найдем подобные члены. Это $2m^3$ и $2m^3$, а также $n^2$ и $-n^2$. Число $-1$ не имеет подобных членов.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(2m^3 + 2m^3) + (n^2 - n^2) - 1$

$2m^3 + 2m^3 = (2+2)m^3 = 4m^3$

$n^2 - n^2 = (1-1)n^2 = 0 \cdot n^2 = 0$

Собираем полученные члены: $4m^3 + 0 - 1 = 4m^3 - 1$.

Ответ: $4m^3 - 1$.

г) В многочлене $3x^3 - 2y - 5x^3 - 2 + 2y - 7$ подобными членами являются $3x^3$ и $-5x^3$, $-2y$ и $2y$, а также свободные члены (числа) $-2$ и $-7$.

Сгруппируем их: $(3x^3 - 5x^3) + (-2y + 2y) + (-2 - 7)$.

Выполним действия в каждой группе:

$3x^3 - 5x^3 = (3-5)x^3 = -2x^3$

$-2y + 2y = (-2+2)y = 0 \cdot y = 0$

$-2 - 7 = -9$

Сложим результаты: $-2x^3 + 0 - 9 = -2x^3 - 9$.

Ответ: $-2x^3 - 9$.

645 a) $0,5c^4 + 0,3c^2 + c^3 - 0,5c^2;$ г) $\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{4}m^3 + m^3 - \frac{3}{4}m^5;$

б) $1,4z^3 - 0,1z^2 - 0,4z^3 + 1;$ д) $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^3 - x - \frac{2}{3}x^3 + 3;$

в) $a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a;$ е) $\frac{2}{5}b^2 + b - \frac{3}{5}b^2 + \frac{1}{4}b.$

а) В выражении $0,5c^4 + 0,3c^2 + c^3 - 0,5c^2$ необходимо привести подобные члены. Подобными являются члены с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $0,3c^2$ и $-0,5c^2$.
Сгруппируем их: $(0,3c^2 - 0,5c^2)$.
Выполним операцию с их коэффициентами: $0,3 - 0,5 = -0,2$. Таким образом, получаем $-0,2c^2$.
Остальные члены ($0,5c^4$ и $c^3$) не имеют подобных.
Объединим все члены и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной): $0,5c^4 + c^3 - 0,2c^2$.
Ответ: $0,5c^4 + c^3 - 0,2c^2$

б) В выражении $1,4z^3 - 0,1z^2 - 0,4z^3 + 1$ найдем и приведем подобные члены. Подобными являются $1,4z^3$ и $-0,4z^3$.
Сгруппируем их: $(1,4z^3 - 0,4z^3)$.
Выполним операцию с их коэффициентами: $1,4 - 0,4 = 1$. Таким образом, получаем $1z^3$ или просто $z^3$.
Остальные члены ($-0,1z^2$ и $1$) не имеют подобных.
Запишем полученный многочлен в стандартном виде: $z^3 - 0,1z^2 + 1$.
Ответ: $z^3 - 0,1z^2 + 1$

в) В выражении $a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a$ есть две группы подобных членов: члены с $a^2$ и члены с $a$.
Сгруппируем члены с $a^2$: $(a^2 + \frac{1}{4}a^2)$. Коэффициент при $a^2$ равен 1. Сложим коэффициенты: $1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Получаем $\frac{5}{4}a^2$.
Сгруппируем члены с $a$: $(a - a)$. Сложим коэффициенты: $1 - 1 = 0$. Эти члены взаимно уничтожаются.
Результатом упрощения будет только член с $a^2$.
Ответ: $\frac{5}{4}a^2$

г) В выражении $\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{4}m^3 + m^3 - \frac{3}{4}m^5$ есть две группы подобных членов: с $m^5$ и с $m^3$.
Сгруппируем члены с $m^5$: $(\frac{1}{2}m^5 - \frac{3}{4}m^5)$. Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем: $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$. Получаем $-\frac{1}{4}m^5$.
Сгруппируем члены с $m^3$: $(-\frac{1}{4}m^3 + m^3)$. Коэффициент при втором $m^3$ равен 1. Сложим коэффициенты: $-\frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$. Получаем $\frac{3}{4}m^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $-\frac{1}{4}m^5 + \frac{3}{4}m^3$.
Ответ: $-\frac{1}{4}m^5 + \frac{3}{4}m^3$

д) В выражении $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^3 - x - \frac{2}{3}x^3 + 3$ есть две группы подобных членов: с $x^3$ и с $x$.
Сгруппируем члены с $x^3$: $(\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^3)$. Выполним вычитание: $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$. Эти члены взаимно уничтожаются.
Сгруппируем члены с $x$: $(\frac{1}{3}x - x)$. Коэффициент при втором $x$ равен -1. Выполним вычитание: $\frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$. Получаем $-\frac{2}{3}x$.
Свободный член $3$ остается без изменений.
Запишем результат: $-\frac{2}{3}x + 3$.
Ответ: $-\frac{2}{3}x + 3$

е) В выражении $\frac{2}{5}b^2 + b - \frac{3}{5}b^2 + \frac{1}{4}b$ есть две группы подобных членов: с $b^2$ и с $b$.
Сгруппируем члены с $b^2$: $(\frac{2}{5}b^2 - \frac{3}{5}b^2)$. Вычтем коэффициенты: $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$. Получаем $-\frac{1}{5}b^2$.
Сгруппируем члены с $b$: $(b + \frac{1}{4}b)$. Коэффициент при первом $b$ равен 1. Сложим коэффициенты: $1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Получаем $\frac{5}{4}b$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $-\frac{1}{5}b^2 + \frac{5}{4}b$.
Ответ: $-\frac{1}{5}b^2 + \frac{5}{4}b$

646 Упростите:

а) $3a^2b - ab^2 - a^2b + 2ab^2;$

б) $mn - 7mn^2 - mn - 7mn^2;$

в) $10xy - xy^2 - 10xy + x^2y;$

г) $5xz^2 - 4x^2z + xz - 5xz^2.$

а) Чтобы упростить выражение $3a^2b - ab^2 - a^2b + 2ab^2$, необходимо найти и привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном выражении есть две группы подобных слагаемых: $3a^2b$ и $-a^2b$, а также $-ab^2$ и $2ab^2$.

Сгруппируем их и выполним действия с коэффициентами:

$(3a^2b - a^2b) + (-ab^2 + 2ab^2) = (3 - 1)a^2b + (-1 + 2)ab^2 = 2a^2b + 1ab^2 = 2a^2b + ab^2$.

Дальнейшее упрощение невозможно, так как у слагаемых $2a^2b$ и $ab^2$ разные буквенные части.

Ответ: $2a^2b + ab^2$.

б) В выражении $mn - 7mn^2 - mn - 7mn^2$ также найдем подобные слагаемые. Это пары $mn$ и $-mn$, а также $-7mn^2$ и $-7mn^2$.

Сгруппируем и приведем их:

$(mn - mn) + (-7mn^2 - 7mn^2) = (1 - 1)mn + (-7 - 7)mn^2 = 0 \cdot mn - 14mn^2 = 0 - 14mn^2 = -14mn^2$.

Слагаемые с $mn$ взаимно уничтожились.

Ответ: $-14mn^2$.

в) Рассмотрим выражение $10xy - xy^2 - 10xy + x^2y$. Подобными здесь являются только слагаемые $10xy$ и $-10xy$. Слагаемые $-xy^2$ и $x^2y$ не являются подобными, так как у них разные степени у переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем подобные слагаемые и упростим:

$(10xy - 10xy) - xy^2 + x^2y = (10 - 10)xy - xy^2 + x^2y = 0 \cdot xy - xy^2 + x^2y = -xy^2 + x^2y$.

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами, начав с положительного: $x^2y - xy^2$.

Ответ: $x^2y - xy^2$.

г) В выражении $5xz^2 - 4x^2z + xz - 5xz^2$ подобными являются слагаемые $5xz^2$ и $-5xz^2$. Остальные слагаемые, $-4x^2z$ и $xz$, не являются подобными друг другу.

Сгруппируем и упростим:

$(5xz^2 - 5xz^2) - 4x^2z + xz = (5 - 5)xz^2 - 4x^2z + xz = 0 \cdot xz^2 - 4x^2z + xz = -4x^2z + xz$.

Поменяв слагаемые местами, получим: $xz - 4x^2z$.

Ответ: $xz - 4x^2z$.

647 Дан многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$. Подставьте вместо $a$ заданное выражение и приведите многочлен к стандартному виду:

а) $2x$;

б) $-x$;

в) $3x^2$;

г) $-2x^3$.

а) Подставим $a = 2x$ в многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$ и приведем полученное выражение к стандартному виду:
$2(2x)^4 - 3(2x)^3 - (2x)^2 + 5(2x) - 1 = $
$= 2 \cdot (2^4 x^4) - 3 \cdot (2^3 x^3) - (2^2 x^2) + 10x - 1 = $
$= 2 \cdot 16x^4 - 3 \cdot 8x^3 - 4x^2 + 10x - 1 = $
$= 32x^4 - 24x^3 - 4x^2 + 10x - 1$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде, так как его члены упорядочены по убыванию степеней переменной.
Ответ: $32x^4 - 24x^3 - 4x^2 + 10x - 1$.

б) Подставим $a = -x$ в многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$ и приведем полученное выражение к стандартному виду:
$2(-x)^4 - 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 1 = $
$= 2(x^4) - 3(-x^3) - (x^2) - 5x - 1 = $
$= 2x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x - 1$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $2x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x - 1$.

в) Подставим $a = 3x^2$ в многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$ и приведем полученное выражение к стандартному виду:
$2(3x^2)^4 - 3(3x^2)^3 - (3x^2)^2 + 5(3x^2) - 1 = $
$= 2 \cdot (3^4 (x^2)^4) - 3 \cdot (3^3 (x^2)^3) - (3^2 (x^2)^2) + 15x^2 - 1 = $
$= 2 \cdot 81x^8 - 3 \cdot 27x^6 - 9x^4 + 15x^2 - 1 = $
$= 162x^8 - 81x^6 - 9x^4 + 15x^2 - 1$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $162x^8 - 81x^6 - 9x^4 + 15x^2 - 1$.

г) Подставим $a = -2x^3$ в многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$ и приведем полученное выражение к стандартному виду:
$2(-2x^3)^4 - 3(-2x^3)^3 - (-2x^3)^2 + 5(-2x^3) - 1 = $
$= 2 \cdot ((-2)^4 (x^3)^4) - 3 \cdot ((-2)^3 (x^3)^3) - ((-2)^2 (x^3)^2) - 10x^3 - 1 = $
$= 2 \cdot (16x^{12}) - 3 \cdot (-8x^9) - (4x^6) - 10x^3 - 1 = $
$= 32x^{12} + 24x^9 - 4x^6 - 10x^3 - 1$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $32x^{12} + 24x^9 - 4x^6 - 10x^3 - 1$.

648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до $n$ можно вычислить по формуле

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

a) $n = 10;$

б) $n = 50.$

Для решения задачи воспользуемся данной формулой суммы квадратов натуральных чисел от 1 до $n$: $S_n = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$.

а) Вычислим сумму для $n = 10$.

Подставим значение $n=10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3 = \frac{10}{6} + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000$

Упростим выражение:

$S_{10} = \frac{5}{3} + 50 + \frac{1000}{3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$S_{10} = \frac{5 + 1000}{3} + 50 = \frac{1005}{3} + 50$

Выполним деление и сложение:

$S_{10} = 335 + 50 = 385$

Ответ: 385

б) Вычислим сумму для $n = 50$.

Подставим значение $n=50$ в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3 = \frac{50}{6} + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000$

Упростим выражение:

$S_{50} = \frac{25}{3} + 1250 + \frac{125000}{3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$S_{50} = \frac{25 + 125000}{3} + 1250 = \frac{125025}{3} + 1250$

Выполним деление и сложение:

$S_{50} = 41675 + 1250 = 42925$

Ответ: 42925

649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить

по формуле $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$.

Вычислите сумму кубов натуральных чисел для:

a) $n = 10$;

б) $n = 50$.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой: $S_n = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$.

Для удобства вычислений можно преобразовать эту формулу. Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}n^2$ за скобки:

$S_n = \frac{1}{4}n^2(1 + 2n + n^2)$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы $(1+n)^2$. Таким образом, формула принимает более известный и удобный для расчетов вид:

$S_n = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Теперь вычислим суммы для заданных значений $n$, используя эту преобразованную формулу.

а) Вычислим сумму кубов для $n = 10$.

Подставим $n=10$ в формулу:

$S_{10} = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \cdot 11}{2}\right)^2$

Сначала выполним вычисления внутри скобок:

$\frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$S_{10} = 55^2 = 3025$

Ответ: 3025.

б) Вычислим сумму кубов для $n = 50$.

Подставим $n=50$ в формулу:

$S_{50} = \left(\frac{50(50+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{50 \cdot 51}{2}\right)^2$

Выполним вычисления внутри скобок:

$\frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51$

Чтобы вычислить $25 \cdot 51$, можно представить $51$ как $50+1$:

$25 \cdot (50 + 1) = 25 \cdot 50 + 25 \cdot 1 = 1250 + 25 = 1275$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$S_{50} = 1275^2 = 1625625$

Ответ: 1625625.

650 Упростите:

а) $5xy^2 - 3x^2y - xy + 5x^2y - 6xy^2 + xy;$

б) $8a^3 - 6a^2b + b^2 - 8a^3 + 3a^2b - 3b^2;$

в) $3x^4y + 2x^4 - xy^4 + 2x^4 + 2x^4y - 4x^4;$

г) $6a^3b^2 - a^2b^3 - 7a^3b^2 - a^2b^3 + 5a^3 - a^3b^2.$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо найти и сгруппировать подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть.

Исходное выражение: $5xy^2 - 3x^2y - xy + 5x^2y - 6xy^2 + xy$

Сгруппируем подобные члены:

$(5xy^2 - 6xy^2) + (-3x^2y + 5x^2y) + (-xy + xy)$

Теперь выполним действия в каждой группе:

• $5xy^2 - 6xy^2 = (5 - 6)xy^2 = -xy^2$
• $-3x^2y + 5x^2y = (-3 + 5)x^2y = 2x^2y$
• $-xy + xy = 0$

Соберем полученные члены вместе. Для стандартного вида многочлена запишем его в порядке убывания степени переменной $x$:

$2x^2y - xy^2$

Ответ: $2x^2y - xy^2$

б) Упростим выражение $8a^3 - 6a^2b + b^2 - 8a^3 + 3a^2b - 3b^2$, приведя подобные слагаемые.

Сгруппируем подобные члены:

$(8a^3 - 8a^3) + (-6a^2b + 3a^2b) + (b^2 - 3b^2)$

Вычислим сумму в каждой группе:

• $8a^3 - 8a^3 = 0$
• $-6a^2b + 3a^2b = (-6 + 3)a^2b = -3a^2b$
• $b^2 - 3b^2 = (1 - 3)b^2 = -2b^2$

Объединяем результаты:

$0 - 3a^2b - 2b^2 = -3a^2b - 2b^2$

Ответ: $-3a^2b - 2b^2$

в) Приведем подобные слагаемые в выражении $3x^4y + 2x^4 - xy^4 + 2x^4 + 2x^4y - 4x^4$.

Группируем подобные члены:

$(3x^4y + 2x^4y) + (2x^4 + 2x^4 - 4x^4) - xy^4$

Выполняем сложение и вычитание в группах:

• $3x^4y + 2x^4y = (3 + 2)x^4y = 5x^4y$
• $2x^4 + 2x^4 - 4x^4 = (2 + 2 - 4)x^4 = 0$
• $-xy^4$ остается без изменений.

Собираем упрощенное выражение:

$5x^4y - xy^4$

Ответ: $5x^4y - xy^4$

г) Упростим выражение $6a^3b^2 - a^2b^3 - 7a^3b^2 - a^2b^3 + 5a^3 - a^3b^2$, сгруппировав подобные члены.

Группировка подобных слагаемых:

$(6a^3b^2 - 7a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 - a^2b^3) + 5a^3$

Вычисляем значение каждой группы:

• $6a^3b^2 - 7a^3b^2 - a^3b^2 = (6 - 7 - 1)a^3b^2 = -2a^3b^2$
• $-a^2b^3 - a^2b^3 = (-1 - 1)a^2b^3 = -2a^2b^3$
• Член $5a^3$ не имеет подобных.

Составляем итоговый многочлен. Расположим члены в стандартном виде, например, по убыванию степени переменной $a$:

$5a^3 - 2a^3b^2 - 2a^2b^3$

Ответ: $5a^3 - 2a^3b^2 - 2a^2b^3$

651 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Предложение «Число, в котором в раз- ряде сотен записана цифра x, в разряде десятков — цифра y, в разряде единиц — цифра z» коротко записывают так: $\overline{xyz}$. Такое число может быть представлено в виде многочлена: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$. Представьте в виде многочлена число:

а) $\overline{xy}$;

б) $\overline{yz}$;

в) $\overline{abc}$;

г) $\overline{cba}$;

д) $\overline{mnpq}$;

е) $\overline{qpnm}$.

Чтобы представить число, записанное с помощью букв, в виде многочлена, необходимо каждую букву (цифру) умножить на её разрядный коэффициент и сложить полученные произведения. Разрядный коэффициент — это значение разрядной единицы (1 для единиц, 10 для десятков, 100 для сотен, 1000 для тысяч и т.д.).

а) $\overline{xy}$

В данном двузначном числе $x$ — цифра в разряде десятков, а $y$ — цифра в разряде единиц. Следовательно, многочлен будет иметь вид:

$\overline{xy} = 10 \cdot x + 1 \cdot y = 10x + y$

Ответ: $10x + y$

б) $\overline{yz}$

В этом двузначном числе $y$ — цифра в разряде десятков, а $z$ — цифра в разряде единиц. Представляем его в виде многочлена:

$\overline{yz} = 10 \cdot y + 1 \cdot z = 10y + z$

Ответ: $10y + z$

в) $\overline{abc}$

Это трехзначное число, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Представление в виде многочлена выглядит так:

$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + 1 \cdot c = 100a + 10b + c$

Ответ: $100a + 10b + c$

г) $\overline{cba}$

В данном трехзначном числе $c$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $a$ — цифра единиц. Таким образом, многочлен будет:

$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + 1 \cdot a = 100c + 10b + a$

Ответ: $100c + 10b + a$

д) $\overline{mnpq}$

Это четырехзначное число. В нем $m$ — цифра тысяч, $n$ — цифра сотен, $p$ — цифра десятков, а $q$ — цифра единиц. Многочлен имеет вид:

$\overline{mnpq} = 1000 \cdot m + 100 \cdot n + 10 \cdot p + 1 \cdot q = 1000m + 100n + 10p + q$

Ответ: $1000m + 100n + 10p + q$

е) $\overline{qpnm}$

В этом четырехзначном числе $q$ — цифра тысяч, $p$ — цифра сотен, $n$ — цифра десятков, а $m$ — цифра единиц. Представляем его в виде многочлена:

$\overline{qpnm} = 1000 \cdot q + 100 \cdot p + 10 \cdot n + 1 \cdot m = 1000q + 100p + 10n + m$

Ответ: $1000q + 100p + 10n + m$