Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие из следующих выражений являются одночленами, а какие нет?

1) $6x^5y$

2) $x$

3) $\frac{2a}{x}$

4) $17$

5) $b + 4$

6) $\frac{1}{3}ac^3$

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое является произведением числа (коэффициента) и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в какой-либо неотрицательной целой степени. Числа и отдельные переменные также считаются одночленами. Выражения, содержащие операции сложения, вычитания или деления на переменную, одночленами не являются. Проанализируем каждое выражение:

1) Выражение $6x^5y$ является произведением числа $6$ и переменных $x$ и $y$ в степенях $5$ и $1$ соответственно. Так как это произведение числа и переменных в неотрицательных целых степенях, оно является одночленом.
Ответ: является одночленом.

2) Выражение $x$ — это переменная. Любая переменная является одночленом (можно представить как $1 \cdot x^1$).
Ответ: является одночленом.

3) Выражение $\frac{2a}{x}$ содержит операцию деления на переменную $x$. Это недопустимо в одночлене. Данное выражение можно записать как $2ax^{-1}$, где степень переменной $x$ равна $-1$, что не является неотрицательным целым числом.
Ответ: не является одночленом.

4) Выражение $17$ — это число. Любое число является одночленом.
Ответ: является одночленом.

5) Выражение $b + 4$ является суммой переменной $b$ и числа $4$. Одночлен не может содержать операцию сложения. Это многочлен (двучлен).
Ответ: не является одночленом.

6) Выражение $\frac{1}{3}ac^3$ является произведением числа $\frac{1}{3}$ и переменных $a$ и $c$ в степенях $1$ и $3$. Это соответствует определению одночлена.
Ответ: является одночленом.

Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов, содержащих буквенные множители:

а) $8a^3 - 12a^2b + ab^2 - b^3$,

б) $m^3 + 2m^2 - 9m + 2$.

а)Рассмотрим многочлен $8a^3 - 12a^2b + ab^2 - b^3$.
Члены многочлена – это одночлены, из которых он состоит. В данном случае, это: $8a^3$, $-12a^2b$, $ab^2$ и $-b^3$.
Все перечисленные члены содержат буквенные множители ($a$ и $b$). Теперь найдем их коэффициенты. Коэффициент – это числовой множитель в выражении.
1. Для члена $8a^3$ коэффициент равен $8$.
2. Для члена $-12a^2b$ коэффициент равен $-12$.
3. Для члена $ab^2$ коэффициент равен $1$, так как выражение можно записать как $1 \cdot ab^2$.
4. Для члена $-b^3$ коэффициент равен $-1$, так как выражение можно записать как $-1 \cdot b^3$.
Ответ: члены многочлена: $8a^3$, $-12a^2b$, $ab^2$, $-b^3$; коэффициенты членов, содержащих буквенные множители: $8$, $-12$, $1$, $-1$.

б)Рассмотрим многочлен $m^3 + 2m^2 - 9m + 2$.
Члены данного многочлена: $m^3$, $2m^2$, $-9m$ и $2$.
Члены, содержащие буквенные множители (переменную $m$), это: $m^3$, $2m^2$ и $-9m$. Член $2$ является свободным членом, он не содержит буквенных множителей.
Найдем коэффициенты у членов, содержащих буквенные множители.
1. Для члена $m^3$ коэффициент равен $1$, так как $m^3 = 1 \cdot m^3$.
2. Для члена $2m^2$ коэффициент равен $2$.
3. Для члена $-9m$ коэффициент равен $-9$.
Ответ: члены многочлена: $m^3$, $2m^2$, $-9m$, $2$; коэффициенты членов, содержащих буквенные множители: $1$, $2$, $-9$.

▪ Дан многочлен с одной переменной: $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$. Назовите коэффициенты членов многочлена, содержащих букву; назовите свободный член многочлена; определите степень многочлена.

Данный многочлен: $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$.

Назовите коэффициенты членов многочлена, содержащих букву

Многочлен состоит из членов (одночленов): $-3x^4$, $2x^2$, $-x$ и $-10$.
Члены, содержащие букву (переменную $x$), это $-3x^4$, $2x^2$ и $-x$.
Коэффициент — это числовой множитель при переменной в члене многочлена.
- Для члена $-3x^4$ коэффициент равен $-3$.
- Для члена $2x^2$ коэффициент равен $2$.
- Для члена $-x$, который можно представить как $-1 \cdot x^1$, коэффициент равен $-1$.
Ответ: Коэффициенты членов многочлена, содержащих букву, это $-3$, $2$ и $-1$.

назовите свободный член многочлена

Свободный член — это член многочлена, который не содержит переменной (является постоянным числом).
В многочлене $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$ таким членом является $-10$.
Ответ: Свободный член многочлена равен $-10$.

определите степень многочлена

Степень многочлена стандартного вида с одной переменной — это наибольшая из степеней (показателей) его членов.
Рассмотрим степени каждого члена многочлена $-3x^4 + 2x^2 - x^1 - 10x^0$:
- Степень члена $-3x^4$ равна $4$.
- Степень члена $2x^2$ равна $2$.
- Степень члена $-x$ (или $-x^1$) равна $1$.
- Степень свободного члена $-10$ (или $-10x^0$) равна $0$.
Наибольшая из этих степеней — $4$.
Ответ: Степень многочлена равна $4$.

Какое из следующих утверждений неверно?

1) $3xy$ — трёхчлен

2) $3xy$ — одночлен

3) $3xy$ — многочлен

4) $3 + x + y$ — трёхчлен

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них, основываясь на определениях алгебраических выражений.

• Одночлен — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней. Например: $5a$, $x^2$, $7$.
• Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Важно, что любой одночлен также считается многочленом (состоящим из одного члена).
• Трёхчлен — это частный случай многочлена, который состоит ровно из трёх членов (одночленов). Например: $a + b + c$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение из предложенных вариантов.

1) $3xy$ — трёхчлен
Выражение $3xy$ является произведением числа $3$ и переменных $x$ и $y$. Это один член, то есть одночлен. Трёхчлен должен состоять из трёх членов. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) $3xy$ — одночлен
Выражение $3xy$ полностью соответствует определению одночлена, так как является произведением числа и переменных. Следовательно, это утверждение верно.
Ответ: верно.

3) $3xy$ — многочлен
Любой одночлен является многочленом, состоящим из одного члена. Поскольку $3xy$ — это одночлен, он также является и многочленом. Следовательно, это утверждение верно.
Ответ: верно.

4) $3 + x + y$ — трёхчлен
Выражение $3 + x + y$ представляет собой сумму трёх одночленов: $3$, $x$ и $y$. Многочлен, состоящий из трёх членов, по определению является трёхчленом. Следовательно, это утверждение верно.
Ответ: верно.

Таким образом, единственное неверное утверждение среди предложенных — это первое.

Ответ: 1.

634 Представьте в стандартном виде многочлен:

а) $6a \cdot 0,5 - 3a \cdot 2x + 2a \cdot 7a;$

б) $8x^2 - 4x + x + 1.$

а) $6a \cdot 0,5 - 3a \cdot 2x + 2a \cdot 7a$

Чтобы представить многочлен в стандартном виде, нужно выполнить два шага: сначала привести каждый член многочлена к стандартному виду, а затем привести подобные слагаемые.

1. Приведем каждый член к стандартному виду, перемножив числовые и буквенные множители:

• Первый член: $6a \cdot 0,5 = (6 \cdot 0,5) \cdot a = 3a$

• Второй член: $-3a \cdot 2x = (-3 \cdot 2) \cdot a \cdot x = -6ax$

• Третий член: $2a \cdot 7a = (2 \cdot 7) \cdot (a \cdot a) = 14a^2$

2. Запишем полученный многочлен:

$3a - 6ax + 14a^2$

3. Подобных членов в этом многочлене нет, так как у всех членов разная буквенная часть ($a$, $ax$, $a^2$). Для записи в стандартном виде расположим члены в порядке убывания степени переменной $a$:

$14a^2 - 6ax + 3a$

Ответ: $14a^2 - 6ax + 3a$

б) $8x^2 - 4x + x + 1$

В данном многочлене все члены уже представлены в стандартном виде. Следующий шаг - приведение подобных слагаемых. Подобными являются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

1. Найдем подобные члены. В данном выражении это $-4x$ и $x$.

2. Сложим их коэффициенты:

$-4x + x = (-4 + 1)x = -3x$

3. Подставим результат обратно в многочлен:

$8x^2 - 3x + 1$

Полученный многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены имеют стандартный вид, среди них нет подобных, и они расположены в порядке убывания степени переменной $x$.

Ответ: $8x^2 - 3x + 1$

635 Запишите многочлен, расположив его члены по убыванию степеней переменной, и укажите его степень:

а) $19z^2 - 8z + z^4 - 7 - 3z^3;$

б) $2y^3 + 5y^2 - 3y^4 + y^5 - 1.$

a) Дан многочлен $19z^2 - 8z + z^4 - 7 - 3z^3$. Чтобы расположить его члены по убыванию степеней переменной, необходимо сначала определить степень каждого члена, а затем записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей.
Степени членов многочлена:
член $z^4$ имеет степень 4;
член $-3z^3$ имеет степень 3;
член $19z^2$ имеет степень 2;
член $-8z$ (эквивалентно $-8z^1$) имеет степень 1;
член $-7$ (свободный член, эквивалентно $-7z^0$) имеет степень 0.
Теперь запишем многочлен, расположив его члены по убыванию степеней: $z^4 - 3z^3 + 19z^2 - 8z - 7$.
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов. В данном многочлене наибольшая степень равна 4.
Ответ: $z^4 - 3z^3 + 19z^2 - 8z - 7$; степень многочлена – 4.

б) Дан многочлен $2y^3 + 5y^2 - 3y^4 + y^5 - 1$. Аналогично предыдущему пункту, расположим его члены по убыванию степеней переменной $y$.
Степени членов многочлена:
член $y^5$ имеет степень 5;
член $-3y^4$ имеет степень 4;
член $2y^3$ имеет степень 3;
член $5y^2$ имеет степень 2;
член $-1$ (свободный член, эквивалентно $-1y^0$) имеет степень 0.
Запишем многочлен, расположив его члены по убыванию степеней: $y^5 - 3y^4 + 2y^3 + 5y^2 - 1$.
Степенью многочлена является наибольшая из степеней его членов. В данном многочлене наибольшая степень равна 5.
Ответ: $y^5 - 3y^4 + 2y^3 + 5y^2 - 1$; степень многочлена – 5.

636 Расположите многочлен по убывающим степеням буквы $a$:

a) $2ab + 3a^3 + a^2b^2$;

б) $a^4x + a^2x^3 + ax^2 + a^3x$.

а) Чтобы расположить многочлен по убывающим степеням буквы $a$, необходимо определить показатель степени у переменной $a$ в каждом одночлене, входящем в состав многочлена, и затем записать эти одночлены в порядке от наибольшего показателя к наименьшему.

Рассмотрим многочлен $2ab + 3a^3 + a^2b^2$.

Определим степень переменной $a$ в каждом его члене:

• В одночлене $3a^3$ степень $a$ равна 3.
• В одночлене $a^2b^2$ степень $a$ равна 2.
• В одночлене $2ab$ (что то же самое, что и $2a^1b$) степень $a$ равна 1.

Сравнивая степени ($3 > 2 > 1$), располагаем одночлены в порядке убывания степени $a$.

В результате получаем многочлен, записанный в стандартном виде относительно переменной $a$: $3a^3 + a^2b^2 + 2ab$.

Ответ: $3a^3 + a^2b^2 + 2ab$.

б) Рассмотрим многочлен $a^4x + a^2x^3 + ax^2 + a^3x$.

Аналогично предыдущему пункту, определим степень переменной $a$ в каждом его члене:

• В одночлене $a^4x$ степень $a$ равна 4.
• В одночлене $a^3x$ степень $a$ равна 3.
• В одночлене $a^2x^3$ степень $a$ равна 2.
• В одночлене $ax^2$ (что то же самое, что и $a^1x^2$) степень $a$ равна 1.

Сравнивая степени ($4 > 3 > 2 > 1$), располагаем одночлены в порядке убывания степени $a$. Для этого нужно поменять местами члены $a^2x^3$ и $a^3x$.

В результате получаем: $a^4x + a^3x + a^2x^3 + ax^2$.

Ответ: $a^4x + a^3x + a^2x^3 + ax^2$.