Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

652 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11;

б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.

а)

Пусть четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $aaaa$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$aaaa = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$

Чтобы доказать, что число $aaaa$ делится на 11, нужно показать, что произведение $a \cdot 1111$ делится на 11. Для этого проверим, делится ли число 1111 на 11.
$1111 = 1100 + 11 = 11 \cdot 100 + 11 \cdot 1 = 11 \cdot (100 + 1) = 11 \cdot 101$

Таким образом, наше исходное число можно представить в виде:
$aaaa = a \cdot 1111 = a \cdot 11 \cdot 101$

Поскольку в разложении числа на множители присутствует множитель 11, то всё число $aaaa$ делится на 11 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно представить в виде $a \cdot 1111 = a \cdot 11 \cdot 101$, что доказывает его делимость на 11.

б)

Пусть трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $aaa$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых и вынесем общий множитель $a$:
$aaa = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Докажем, что число делится на 37.
Для этого разложим число 111 на множители. Проверим его делимость на 37:
$111 : 37 = 3$
Следовательно, $111 = 37 \cdot 3$.

Тогда исходное число можно представить в виде:
$aaa = a \cdot 111 = a \cdot 37 \cdot 3$

Поскольку в произведении есть множитель 37, то число $aaa$ всегда делится на 37.

Докажем, что число не делится на 11.
Наше число представлено произведением $a \cdot 111$. Чтобы это произведение делилось на 11, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей ($a$ или 111) делился на 11.
Множитель $a$ — это цифра от 1 до 9, поэтому он не может делиться на 11.
Проверим делимость множителя 111 на 11. Согласно признаку делимости на 11, разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях должна делиться на 11. Для числа 111 получаем: $(1+1) - 1 = 1$. Так как 1 не делится на 11, то и число 111 не делится на 11.
Поскольку ни один из множителей ($a$ и 111) не делится на простое число 11, то и их произведение $a \cdot 111$ не делится на 11.

Ответ: Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно представить как $a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$, что доказывает его делимость на 37. Так как ни $a$ (цифра от 1 до 9), ни 111 не делятся на 11, то и само число $aaa$ не делится на 11.

653 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша решила накапливать на банковском счёте небольшие денежные суммы, которые она получала в подарок от родственников на Новый год. Она нашла банк, который начислял 10% годовых (т. е. увеличивал на 10% в год сумму, имеющуюся на счёте). В первый год она внесла 300 р., во второй — 500 р., в третий — 200 р., в четвёртый — 700 р. Как посчитать, сколько денег было на её счёте после внесения четвёртого взноса?

Будем рассуждать так. Через год после внесения суммы и далее каждый год банк увеличивал её на 10%, т. е. в 1,1 раза, плюс добавлялась новая сумма. Результат показан в таблице.

Год Сумма на счёте (в рублях) Итого (в рублях)

1-й 300 300

2-й $300 \cdot 1,1 + 500$ 830

3-й $300 \cdot (1,1)^2 + 500 \cdot 1,1 + 200$ 1113

4-й $300 \cdot (1,1)^3 + 500 \cdot (1,1)^2 + 200 \cdot 1,1 + 700$ 1924,3

Рост взноса 1-го года Рост взноса 2-го года Рост взноса 3-го года Взнос 4-го года

Обозначив 1,1 (коэффициент роста) буквой $x$, мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$. Если, например, коэффициент роста будет другим, то достаточно подставить в это выражение вместо $x$ его значение и выполнить вычисления.

1) Вычислите, какой была бы сумма на счёте Маши, если бы банк начислял 12% годовых.

2) Представьте, что вы открыли счёт с коэффициентом роста $x$ и один раз в год вносите на этот счёт 1000 р. Составьте выражение для вычисления суммы, которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса. Определите эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.

1)

В условии задачи представлена общая формула для расчёта суммы на счёте Маши после четвёртого взноса. Она выражена в виде многочлена, где $x$ — это коэффициент роста (1 + годовая процентная ставка в долях):
$S(x) = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$
Если банк начисляет 12% годовых, то годовой коэффициент роста $x$ будет равен $1 + \frac{12}{100} = 1.12$.
Для нахождения итоговой суммы подставим значение $x=1.12$ в данный многочлен:
$S(1.12) = 300 \cdot (1.12)^3 + 500 \cdot (1.12)^2 + 200 \cdot 1.12 + 700$
Выполним вычисления по частям:
$(1.12)^2 = 1.2544$
$(1.12)^3 = 1.2544 \cdot 1.12 = 1.404928$
Теперь подставим вычисленные значения в формулу:
$S(1.12) = 300 \cdot 1.404928 + 500 \cdot 1.2544 + 200 \cdot 1.12 + 700$
$S(1.12) = 421.4784 + 627.2 + 224 + 700$
$S(1.12) = 1972.6784$
Сумма на счёте составит 1972,68 рубля (округляя до копеек).

Ответ: 1972,68 р.

2)

Сначала составим выражение для вычисления суммы на счёте после третьего взноса. Пусть ежегодный взнос равен 1000 р., а коэффициент роста — $x$.
- После первого взноса (в конце 1-го года) на счёте будет: $1000$.
- В конце 2-го года на эту сумму начислятся проценты и будет сделан второй взнос. Сумма станет: $1000 \cdot x + 1000$.
- В конце 3-го года на всю имеющуюся сумму снова начислятся проценты и будет сделан третий взнос. Итоговая сумма на счёте будет: $(1000 \cdot x + 1000) \cdot x + 1000$.
Раскроем скобки, чтобы получить выражение в виде многочлена:
$S(x) = 1000x^2 + 1000x + 1000$
Это и есть искомое выражение.
Теперь определим эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.
Коэффициент роста $x$ в этом случае равен $1 + \frac{6}{100} = 1.06$.
Подставим значение $x=1.06$ в полученное выражение:
$S(1.06) = 1000 \cdot (1.06)^2 + 1000 \cdot 1.06 + 1000$
Вычислим:
$(1.06)^2 = 1.1236$
$S(1.06) = 1000 \cdot 1.1236 + 1000 \cdot 1.06 + 1000$
$S(1.06) = 1123.6 + 1060 + 1000$
$S(1.06) = 3183.6$

Ответ: выражение для вычисления суммы — $1000x^2 + 1000x + 1000$; сумма при 6% годовых — 3183,6 р.