Номер 652, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.1. Одночлены и многочлены. Глава 7. Многочлены - номер 652, страница 192.

652 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11;

б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.

а)

Пусть четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $aaaa$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$aaaa = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$

Чтобы доказать, что число $aaaa$ делится на 11, нужно показать, что произведение $a \cdot 1111$ делится на 11. Для этого проверим, делится ли число 1111 на 11.
$1111 = 1100 + 11 = 11 \cdot 100 + 11 \cdot 1 = 11 \cdot (100 + 1) = 11 \cdot 101$

Таким образом, наше исходное число можно представить в виде:
$aaaa = a \cdot 1111 = a \cdot 11 \cdot 101$

Поскольку в разложении числа на множители присутствует множитель 11, то всё число $aaaa$ делится на 11 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно представить в виде $a \cdot 1111 = a \cdot 11 \cdot 101$, что доказывает его делимость на 11.

б)

Пусть трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $aaa$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых и вынесем общий множитель $a$:
$aaa = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Докажем, что число делится на 37.
Для этого разложим число 111 на множители. Проверим его делимость на 37:
$111 : 37 = 3$
Следовательно, $111 = 37 \cdot 3$.

Тогда исходное число можно представить в виде:
$aaa = a \cdot 111 = a \cdot 37 \cdot 3$

Поскольку в произведении есть множитель 37, то число $aaa$ всегда делится на 37.

Докажем, что число не делится на 11.
Наше число представлено произведением $a \cdot 111$. Чтобы это произведение делилось на 11, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей ($a$ или 111) делился на 11.
Множитель $a$ — это цифра от 1 до 9, поэтому он не может делиться на 11.
Проверим делимость множителя 111 на 11. Согласно признаку делимости на 11, разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях должна делиться на 11. Для числа 111 получаем: $(1+1) - 1 = 1$. Так как 1 не делится на 11, то и число 111 не делится на 11.
Поскольку ни один из множителей ($a$ и 111) не делится на простое число 11, то и их произведение $a \cdot 111$ не делится на 11.

Ответ: Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно представить как $a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$, что доказывает его делимость на 37. Так как ни $a$ (цифра от 1 до 9), ни 111 не делятся на 11, то и само число $aaa$ не делится на 11.