Номер 649, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.1. Одночлены и многочлены. Глава 7. Многочлены - номер 649, страница 191.

649 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить

по формуле $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$.

Вычислите сумму кубов натуральных чисел для:

a) $n = 10$;

б) $n = 50$.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой: $S_n = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$.

Для удобства вычислений можно преобразовать эту формулу. Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}n^2$ за скобки:

$S_n = \frac{1}{4}n^2(1 + 2n + n^2)$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы $(1+n)^2$. Таким образом, формула принимает более известный и удобный для расчетов вид:

$S_n = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Теперь вычислим суммы для заданных значений $n$, используя эту преобразованную формулу.

а) Вычислим сумму кубов для $n = 10$.

Подставим $n=10$ в формулу:

$S_{10} = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \cdot 11}{2}\right)^2$

Сначала выполним вычисления внутри скобок:

$\frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$S_{10} = 55^2 = 3025$

Ответ: 3025.

б) Вычислим сумму кубов для $n = 50$.

Подставим $n=50$ в формулу:

$S_{50} = \left(\frac{50(50+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{50 \cdot 51}{2}\right)^2$

Выполним вычисления внутри скобок:

$\frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51$

Чтобы вычислить $25 \cdot 51$, можно представить $51$ как $50+1$:

$25 \cdot (50 + 1) = 25 \cdot 50 + 25 \cdot 1 = 1250 + 25 = 1275$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$S_{50} = 1275^2 = 1625625$

Ответ: 1625625.