Номер 648, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.1. Одночлены и многочлены. Глава 7. Многочлены - номер 648, страница 191.

648 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до $n$ можно вычислить по формуле

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

a) $n = 10;$

б) $n = 50.$

Для решения задачи воспользуемся данной формулой суммы квадратов натуральных чисел от 1 до $n$: $S_n = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$.

а) Вычислим сумму для $n = 10$.

Подставим значение $n=10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3 = \frac{10}{6} + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000$

Упростим выражение:

$S_{10} = \frac{5}{3} + 50 + \frac{1000}{3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$S_{10} = \frac{5 + 1000}{3} + 50 = \frac{1005}{3} + 50$

Выполним деление и сложение:

$S_{10} = 335 + 50 = 385$

Ответ: 385

б) Вычислим сумму для $n = 50$.

Подставим значение $n=50$ в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3 = \frac{50}{6} + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000$

Упростим выражение:

$S_{50} = \frac{25}{3} + 1250 + \frac{125000}{3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$S_{50} = \frac{25 + 125000}{3} + 1250 = \frac{125025}{3} + 1250$

Выполним деление и сложение:

$S_{50} = 41675 + 1250 = 42925$

Ответ: 42925