Номер 3, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 3, страница 194.

Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $4x^2 - x + 5$ и вычитание второго многочлена из первого.

Даны два многочлена: $P_1(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $P_2(x) = 4x^2 - x + 5$.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, необходимо сгруппировать и сложить их подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

Запишем сумму многочленов:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) + (4x^2 - x + 5)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 + 4x^2) + (-2x - x) + (5 + 5)$

Выполним сложение в каждой группе:

Для членов с $x^2$: $-3x^2 + 4x^2 = x^2$

Для членов с $x$: $-2x - x = -3x$

Для свободных членов (констант): $5 + 5 = 10$

Член $x^3$ остается без изменений, так как в другом многочлене нет члена с такой степенью.

Соберем полученные члены вместе:

$x^3 + x^2 - 3x + 10$

Ответ: $x^3 + x^2 - 3x + 10$

Вычитание второго многочлена из первого

Чтобы вычесть второй многочлен из первого, нужно раскрыть скобки, изменив знак каждого члена второго многочлена на противоположный, а затем привести подобные члены.

Запишем разность многочленов:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) - (4x^2 - x + 5)$

Раскроем скобки, меняя знаки у второго многочлена:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 - 4x^2 + x - 5$

Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 - 4x^2) + (-2x + x) + (5 - 5)$

Выполним действия в каждой группе:

Для членов с $x^2$: $-3x^2 - 4x^2 = -7x^2$

Для членов с $x$: $-2x + x = -x$

Для свободных членов (констант): $5 - 5 = 0$

Соберем полученные члены вместе:

$x^3 - 7x^2 - x$

Ответ: $x^3 - 7x^2 - x$