Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разберите примеры 1 и 2. Для каждого из них:

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Поскольку в вопросе отсутствуют сами примеры 1 и 2, для выполнения задания будут рассмотрены два стандартных случая раскрытия скобок и последующего упрощения выражений.

Разбор гипотетического Примера 1

Предположим, пример 1 выглядит так: упростить выражение $a + (12 - c) - (8 - c)$.

Решение: $a + (12 - c) - (8 - c) = a + 12 - c - 8 + c = a + (12 - 8) + (-c + c) = a + 4$.

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

В данном примере использовались два правила раскрытия скобок:

1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс». Для раскрытия скобок $(12 - c)$ используется правило: если перед скобками стоит знак «плюс» (или знака нет, что подразумевает «плюс»), то скобки и знак перед ними опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок сохраняются. Так, $+(12 - c)$ превращается в $+12 - c$.
2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «минус». Для раскрытия скобок $-(8 - c)$ используется правило: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки и знак «минус» перед ними опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Так, $-(8 - c)$ превращается в $-8 + c$ (знак перед $8$ изменился с «+» на «–», а знак перед $c$ — с «–» на «+»).

Ответ: Использовались правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс» (знаки слагаемых сохраняются) и знак «минус» (знаки слагаемых меняются на противоположные).

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

После раскрытия скобок было получено выражение $a + 12 - c - 8 + c$. Упрощение выполняется путем приведения подобных слагаемых. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, или числовые слагаемые (константы).

1. Сначала группируем подобные слагаемые: $(a) + (12 - 8) + (-c + c)$.
2. Слагаемое $a$ не имеет подобных, поэтому остается без изменений.
3. Вычисляем сумму числовых слагаемых: $12 - 8 = 4$.
4. Вычисляем сумму слагаемых с буквой $c$: $-c + c = 0$.

Сложив полученные результаты, получаем итоговое выражение: $a + 4 + 0 = a + 4$.

Ответ: Упрощение выполнено путем приведения подобных слагаемых: были сложены числовые слагаемые ($12-8=4$) и слагаемые с переменной $c$ ($-c+c=0$), что привело к выражению $a+4$.

Разбор гипотетического Примера 2

Предположим, пример 2 выглядит так: упростить выражение $5(x - 2) - 3(x + 7)$.

Решение: $5(x - 2) - 3(x + 7) = 5x - 10 - 3x - 21 = (5x - 3x) + (-10 - 21) = 2x - 31$.

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

В этом примере для раскрытия скобок используется распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания: $k(a+b) = ka+kb$. Чтобы умножить число (множитель) на сумму или разность в скобках, нужно этот множитель умножить на каждое слагаемое в скобках, а полученные произведения сложить.

• Для $5(x - 2)$ мы умножаем $5$ на $x$ и $5$ на $-2$, получая $5x - 10$.
• Для $-3(x + 7)$ мы умножаем $-3$ на $x$ и $-3$ на $7$, получая $-3x - 21$.

Ответ: Использовался распределительный закон умножения: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри скобок.

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

После раскрытия скобок было получено выражение $5x - 10 - 3x - 21$. Упрощение также выполняется путем приведения подобных слагаемых.

1. Группируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые: $(5x - 3x) + (-10 - 21)$.
2. Выполняем действия с подобными слагаемыми с переменной $x$. Для этого складываем их коэффициенты: $5 - 3 = 2$. Получаем $2x$.
3. Складываем числовые слагаемые (константы): $-10 - 21 = -31$.

Объединив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение: $2x - 31$.

Ответ: Упрощение выполнено путем приведения подобных слагаемых: сгруппированы и сложены слагаемые с переменной $x$ ($5x - 3x = 2x$) и числовые слагаемые ($-10 - 21 = -31$), что привело к выражению $2x-31$.

Запишите многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$. Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему?

Запишите многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$

Многочленом, противоположным данному, является многочлен, все члены которого имеют противоположные знаки по сравнению с исходным. Чтобы найти многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$, необходимо изменить знак каждого его члена.
1. Знак члена $-3x^2$ меняется на «+», получаем $3x^2$.
2. Знак члена $+7$ меняется на «-», получаем $-7$.
Следовательно, противоположный многочлен будет выглядеть так: $3x^2 - 7$.
Ответ: $3x^2 - 7$.

Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему?

Сумма многочлена и противоположного ему многочлена по определению всегда равна нулю. Проверим это, сложив данный многочлен и найденный нами противоположный многочлен.
Сумма: $(-3x^2 + 7) + (3x^2 - 7)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-3x^2 + 7 + 3x^2 - 7 = (-3x^2 + 3x^2) + (7 - 7) = 0 + 0 = 0$.
Таким образом, сумма данного многочлена и противоположного ему равна 0.
Ответ: 0.

Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $4x^2 - x + 5$ и вычитание второго многочлена из первого.

Даны два многочлена: $P_1(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $P_2(x) = 4x^2 - x + 5$.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, необходимо сгруппировать и сложить их подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

Запишем сумму многочленов:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) + (4x^2 - x + 5)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 + 4x^2) + (-2x - x) + (5 + 5)$

Выполним сложение в каждой группе:

Для членов с $x^2$: $-3x^2 + 4x^2 = x^2$

Для членов с $x$: $-2x - x = -3x$

Для свободных членов (констант): $5 + 5 = 10$

Член $x^3$ остается без изменений, так как в другом многочлене нет члена с такой степенью.

Соберем полученные члены вместе:

$x^3 + x^2 - 3x + 10$

Ответ: $x^3 + x^2 - 3x + 10$

Вычитание второго многочлена из первого

Чтобы вычесть второй многочлен из первого, нужно раскрыть скобки, изменив знак каждого члена второго многочлена на противоположный, а затем привести подобные члены.

Запишем разность многочленов:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) - (4x^2 - x + 5)$

Раскроем скобки, меняя знаки у второго многочлена:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 - 4x^2 + x - 5$

Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 - 4x^2) + (-2x + x) + (5 - 5)$

Выполним действия в каждой группе:

Для членов с $x^2$: $-3x^2 - 4x^2 = -7x^2$

Для членов с $x$: $-2x + x = -x$

Для свободных членов (констант): $5 - 5 = 0$

Соберем полученные члены вместе:

$x^3 - 7x^2 - x$

Ответ: $x^3 - 7x^2 - x$

654 Выполните сложение:

а) $(3a^2 - 2a) + (-a^2 + 3a);$

б) $(6c^2 - 2cd) + (10c^2 + 18cd);$

в) $(14mn - 15m) + (-15mn - 14m);$

г) $(3a^2 - 7b^2) + (6b^2 - 2a^2).$

а) Чтобы сложить многочлены $(3a^2 - 2a)$ и $(-a^2 + 3a)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются.

$(3a^2 - 2a) + (-a^2 + 3a) = 3a^2 - 2a - a^2 + 3a$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $a^2$ и слагаемые с $a$):

$(3a^2 - a^2) + (-2a + 3a) = (3-1)a^2 + (-2+3)a = 2a^2 + a$

Ответ: $2a^2 + a$

б) Сложим многочлены $(6c^2 - 2cd)$ и $(10c^2 + 18cd)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(6c^2 - 2cd) + (10c^2 + 18cd) = 6c^2 - 2cd + 10c^2 + 18cd$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $c^2$ и слагаемые с $cd$):

$(6c^2 + 10c^2) + (-2cd + 18cd) = (6+10)c^2 + (-2+18)cd = 16c^2 + 16cd$

Ответ: $16c^2 + 16cd$

в) Сложим многочлены $(14mn - 15m)$ и $(-15mn - 14m)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(14mn - 15m) + (-15mn - 14m) = 14mn - 15m - 15mn - 14m$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $mn$ и слагаемые с $m$):

$(14mn - 15mn) + (-15m - 14m) = (14-15)mn + (-15-14)m = -mn - 29m$

Ответ: $-mn - 29m$

г) Сложим многочлены $(3a^2 - 7b^2)$ и $(6b^2 - 2a^2)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(3a^2 - 7b^2) + (6b^2 - 2a^2) = 3a^2 - 7b^2 + 6b^2 - 2a^2$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $a^2$ и слагаемые с $b^2$):

$(3a^2 - 2a^2) + (-7b^2 + 6b^2) = (3-2)a^2 + (-7+6)b^2 = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

655 Раскройте скобки и приведите подобные:

а) $(5x^3 - 3x^2 - 7) + (4 + 3x^2 - 5x^3);$

б) $(z^2 - 3z + 2) + (4z + 8) + (3z^2 - 5);$

в) $(3t^3 - 4t^2 + 7t) + (2t^2 - 6t + 7);$

г) $(2a^2 + 5a) + (-a^2 + a) + (a^2 - 3a - 5).$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и этот знак, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Затем нужно сгруппировать и привести подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью).

$(5x^3 - 3x^2 - 7) + (4 + 3x^2 - 5x^3) = 5x^3 - 3x^2 - 7 + 4 + 3x^2 - 5x^3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5x^3 - 5x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (-7 + 4)$

Выполним вычисления:

$0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 - 3 = -3$

Ответ: $-3$

б) Раскроем скобки, сохранив знаки слагаемых:

$(z^2 - 3z + 2) + (4z + 8) + (3z^2 - 5) = z^2 - 3z + 2 + 4z + 8 + 3z^2 - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(z^2 + 3z^2) + (-3z + 4z) + (2 + 8 - 5) = 4z^2 + z + 5$

Ответ: $4z^2 + z + 5$

в) Раскроем скобки:

$(3t^3 - 4t^2 + 7t) + (2t^2 - 6t + 7) = 3t^3 - 4t^2 + 7t + 2t^2 - 6t + 7$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$3t^3 + (-4t^2 + 2t^2) + (7t - 6t) + 7 = 3t^3 - 2t^2 + t + 7$

Ответ: $3t^3 - 2t^2 + t + 7$

г) Раскроем скобки:

$(2a^2 + 5a) + (-a^2 + a) + (a^2 - 3a - 5) = 2a^2 + 5a - a^2 + a + a^2 - 3a - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 - a^2 + a^2) + (5a + a - 3a) - 5 = (2 - 1 + 1)a^2 + (5 + 1 - 3)a - 5 = 2a^2 + 3a - 5$

Ответ: $2a^2 + 3a - 5$

656 Упростите выражение:

а) $(7x + y) - (-x - 2y);$

б) $(b - 3) - (2b + 2);$

В) $(x^2 - 3x) - (2x + 1);$

Г) $(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b).$

а) Чтобы упростить выражение $(7x + y) - (-x - 2y)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$(7x + y) - (-x - 2y) = 7x + y + x + 2y$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и члены с $y$):

$(7x + x) + (y + 2y) = 8x + 3y$

Ответ: $8x + 3y$

б) Раскроем скобки в выражении $(b - 3) - (2b + 2)$. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее:

$(b - 3) - (2b + 2) = b - 3 - 2b - 2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (члены с $b$ и свободные члены):

$(b - 2b) + (-3 - 2) = -b - 5$

Ответ: $-b - 5$

в) Упростим выражение $(x^2 - 3x) - (2x + 1)$, раскрыв скобки. Минус перед второй скобкой изменит знаки слагаемых в ней на противоположные:

$(x^2 - 3x) - (2x + 1) = x^2 - 3x - 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые с переменной $x$:

$x^2 + (-3x - 2x) - 1 = x^2 - 5x - 1$

Ответ: $x^2 - 5x - 1$

г) Для упрощения выражения $(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b)$ раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки ее членов на противоположные:

$(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b) = 5b^2 + 2b - 4b^2 + 3b$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $b^2$ и члены с $b$:

$(5b^2 - 4b^2) + (2b + 3b) = b^2 + 5b$

Ответ: $b^2 + 5b$

657 Раскройте скобки:

а) $(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c);$

б) $(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m);$

в) $(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2);$

г) $(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3).$

а)

Чтобы раскрыть скобки в выражении $(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c)$, необходимо учесть, что перед второй скобкой стоит знак минус. Это означает, что при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные.

$(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c) = 10a - 2b + 5c + 5a - 20b + c$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(10a + 5a) + (-2b - 20b) + (5c + c) = 15a - 22b + 6c$

Ответ: $15a - 22b + 6c$

б)

Раскрываем скобки в выражении $(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m)$. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней.

$(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m) = 16m - 11n - 7mn - 6mn + 10n - 16m$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16m - 16m) + (-11n + 10n) + (-7mn - 6mn) = 0 - n - 13mn = -n - 13mn$

Ответ: $-n - 13mn$

в)

Раскрываем скобки в выражении $(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2)$. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней.

$(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2) = c^2 + 3cd - d^2 - 4cd - 5d^2 + 6c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + 6c^2) + (3cd - 4cd) + (-d^2 - 5d^2) = 7c^2 - cd - 6d^2$

Ответ: $7c^2 - cd - 6d^2$

г)

Раскрываем скобки в выражении $(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3)$. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней.

$(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3) = 3b^3 - 2ab + a^3 - 2ab - 3b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, для удобства расположим их в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^3 + (-2ab - 2ab) + (3b^3 - 3b^3) = a^3 - 4ab + 0 = a^3 - 4ab$

Ответ: $a^3 - 4ab$

658 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получив- шиеся выражения:

а) $6a^2 - 3a + 1$ и $6a^2 - 1$;

б) $n^3 + 2n^2 - n + 1$ и $1 - n^3$;

в) $k^3 - 3k^2 + 1$ и $2k^3 - 3k^2 + 4$;

г) $3x^2 - 2x + 7$ и $2x^2 + 2x + 7$.

а) Даны многочлены $6a^2 - 3a + 1$ и $6a^2 - 1$.

1. Найдем сумму многочленов:

$(6a^2 - 3a + 1) + (6a^2 - 1) = 6a^2 - 3a + 1 + 6a^2 - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 + 6a^2) - 3a + (1 - 1) = 12a^2 - 3a$

2. Найдем разность многочленов:

$(6a^2 - 3a + 1) - (6a^2 - 1) = 6a^2 - 3a + 1 - 6a^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - 6a^2) - 3a + (1 + 1) = -3a + 2$

Ответ: сумма: $12a^2 - 3a$; разность: $-3a + 2$.

б) Даны многочлены $n^3 + 2n^2 - n + 1$ и $1 - n^3$.

1. Найдем сумму многочленов:

$(n^3 + 2n^2 - n + 1) + (1 - n^3) = n^3 + 2n^2 - n + 1 + 1 - n^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^3 - n^3) + 2n^2 - n + (1 + 1) = 2n^2 - n + 2$

2. Найдем разность многочленов:

$(n^3 + 2n^2 - n + 1) - (1 - n^3) = n^3 + 2n^2 - n + 1 - 1 + n^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^3 + n^3) + 2n^2 - n + (1 - 1) = 2n^3 + 2n^2 - n$

Ответ: сумма: $2n^2 - n + 2$; разность: $2n^3 + 2n^2 - n$.

в) Даны многочлены $k^3 - 3k^2 + 1$ и $2k^3 - 3k^2 + 4$.

1. Найдем сумму многочленов:

$(k^3 - 3k^2 + 1) + (2k^3 - 3k^2 + 4) = k^3 - 3k^2 + 1 + 2k^3 - 3k^2 + 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(k^3 + 2k^3) + (-3k^2 - 3k^2) + (1 + 4) = 3k^3 - 6k^2 + 5$

2. Найдем разность многочленов:

$(k^3 - 3k^2 + 1) - (2k^3 - 3k^2 + 4) = k^3 - 3k^2 + 1 - 2k^3 + 3k^2 - 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(k^3 - 2k^3) + (-3k^2 + 3k^2) + (1 - 4) = -k^3 - 3$

Ответ: сумма: $3k^3 - 6k^2 + 5$; разность: $-k^3 - 3$.

г) Даны многочлены $3x^2 - 2x + 7$ и $2x^2 + 2x + 7$.

1. Найдем сумму многочленов:

$(3x^2 - 2x + 7) + (2x^2 + 2x + 7) = 3x^2 - 2x + 7 + 2x^2 + 2x + 7$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 + 2x^2) + (-2x + 2x) + (7 + 7) = 5x^2 + 14$

2. Найдем разность многочленов:

$(3x^2 - 2x + 7) - (2x^2 + 2x + 7) = 3x^2 - 2x + 7 - 2x^2 - 2x - 7$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-2x - 2x) + (7 - 7) = x^2 - 4x$

Ответ: сумма: $5x^2 + 14$; разность: $x^2 - 4x$.

659 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $(x - y) + (y - x) - (x + y); x = -5; y = 3,2;$

б) $(m + n) - (n + p) - (m + p); m = \frac{3}{4}; n = -\frac{1}{3}; p = 4;$

в) $(m - n) + (n - c) - (m - c); m = \frac{1}{6}; n = \frac{1}{7}; c = \frac{1}{4};$

г) $(a + b - c) + (a - b + c) - (a - b - c); a = 1,2; b = -0,8; c = 0,6.$

а) Сначала упростим выражение: $(x - y) + (y - x) - (x + y)$.

Раскроем скобки: $x - y + y - x - x - y$.

Приведем подобные слагаемые: $(x - x - x) + (-y + y - y) = -x - y$.

Теперь подставим заданные значения $x = -5$ и $y = 3,2$ в упрощенное выражение:

$-x - y = -(-5) - 3,2 = 5 - 3,2 = 1,8$.

Ответ: $1,8$.

б) Упростим данное выражение: $(m + n) - (n + p) - (m + p)$.

Раскроем скобки: $m + n - n - p - m - p$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(m - m) + (n - n) + (-p - p) = 0 + 0 - 2p = -2p$.

Как видим, значение выражения зависит только от переменной $p$. Подставим значение $p = 4$:

$-2p = -2 \cdot 4 = -8$.

Ответ: $-8$.

в) Упростим выражение: $(m - n) + (n - c) - (m - c)$.

Раскрываем скобки: $m - n + n - c - m + c$.

Приведем подобные слагаемые: $(m - m) + (-n + n) + (-c + c) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Значение выражения равно 0 при любых значениях переменных.

Ответ: $0$.

г) Сначала упростим выражение: $(a + b - c) + (a - b + c) - (a - b - c)$.

Раскроем скобки: $a + b - c + a - b + c - a + b + c$.

Сгруппируем подобные слагаемые: $(a + a - a) + (b - b + b) + (-c + c + c) = a + b + c$.

Теперь подставим заданные значения $a = 1,2$, $b = -0,8$ и $c = 0,6$:

$a + b + c = 1,2 + (-0,8) + 0,6 = 1,2 - 0,8 + 0,6 = 0,4 + 0,6 = 1$.

Ответ: $1$.