Страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

696 Решите уравнение:

a) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3);$

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1);$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3;$

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1);$

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5);$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2.$

а) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 3:
$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 1) - 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 1) = 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 3)$
$1 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x - 1) = 2 \cdot (x - 3)$
Раскроем скобки:
$x + 1 - 2x + 2 = 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$-x + 3 = 2x - 6$
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$3 + 6 = 2x + x$
$9 = 3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Ответ: 3

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 4:
$4 \cdot \frac{1}{2}(3x + 7) - 4 \cdot \frac{3}{4}(2x - 2) = 4 \cdot \frac{3}{4}(x + 1)$
$2(3x + 7) - 3(2x - 2) = 3(x + 1)$
Раскроем скобки:
$6x + 14 - 6x + 6 = 3x + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$20 = 3x + 3$
Перенесем свободные члены в левую часть:
$20 - 3 = 3x$
$17 = 3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{17}{3}$
Ответ: $\frac{17}{3}$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 3x + 2x^2 - x = 3x^2 - 6x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:
$(x^2 + 2x^2) + (-3x - x) = 3x^2 - 6x - 3$
$3x^2 - 4x = 3x^2 - 6x - 3$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$-4x = -6x - 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:
$-4x + 6x = -3$
$2x = -3$
Найдем $x$:
$x = -\frac{3}{2}$
Ответ: $-\frac{3}{2}$

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1)$
Раскроем скобки:
$3 + 6x^2 - 8x = 8x^2 + 20x - 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$3 + 6x^2 - 8x = (8x^2 - 2x^2) + (20x + 2x)$
$3 + 6x^2 - 8x = 6x^2 + 22x$
Вычтем $6x^2$ из обеих частей уравнения:
$3 - 8x = 22x$
Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть:
$3 = 22x + 8x$
$3 = 30x$
Найдем $x$:
$x = \frac{3}{30}$
Сократим дробь:
$x = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$
Раскроем скобки в левой части:
$x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$
Раскроем скобки в правой части:
$(x - 1)(x^2 - 5x - 3x + 15) = (x - 1)(x^2 - 8x + 15)$
$= x^3 - 8x^2 + 15x - x^2 + 8x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Приравняем полученные выражения:
$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Вычтем $x^3$ и прибавим $9x^2$ к обеим частям:
$-10x = 23x - 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$15 = 23x + 10x$
$15 = 33x$
Найдем $x$:
$x = \frac{15}{33}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{5}{11}$
Ответ: $\frac{5}{11}$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$
Раскроем скобки в левой части:
$(x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7)$
$= x^3 - 5x^2 + 4x + 7x^2 - 35x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$
Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы:
$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$
Приравняем полученные выражения:
$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$
Вычтем $x^3$ и $2x^2$ из обеих частей:
$-31x + 28 = x$
Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть:
$28 = x + 31x$
$28 = 32x$
Найдем $x$:
$x = \frac{28}{32}$
Сократим дробь на 4:
$x = \frac{7}{8}$
Ответ: $\frac{7}{8}$

697 Докажите, что:

а) $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0;$

б) $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z).$

а) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого раскроем скобки в выражении $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c)$.
$ab - ac + ad - (bc - bd + ab) + (ac + bc - cd) - (ad + bd - cd)$
Убираем скобки, учитывая знаки:
$ab - ac + ad - bc + bd - ab + ac + bc - cd - ad - bd + cd$
Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые (взаимно уничтожающиеся пары):
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (ad - ad) + (-bc + bc) + (bd - bd) + (-cd + cd) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
В результате преобразований левая часть выражения равна 0, что соответствует правой части исходного равенства. Таким образом, $0 = 0$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество, преобразовав его левую часть, чтобы она стала идентична правой. Исходная левая часть: $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz$.
Вынесем общий множитель $xyz$ за скобки:
$xyz \cdot [(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1]$
Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние круглые скобки:
$x - 1 - y + 1 - z + 1 - 1$
Приведём подобные слагаемые:
$x - y - z + (-1 + 1 + 1 - 1) = x - y - z + 0 = x - y - z$
Подставим упрощенное выражение обратно. Левая часть принимает вид:
$xyz(x - y - z)$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества: $xyz(x - y - z) = xyz(x - y - z)$.
Ответ: Тождество доказано.

698 Докажите, что:

а) если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc;$

б) если $ab + ac + bc = 0$, то $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2.$

а) Дано условие: $a + b + c = 0$. Необходимо доказать тождество: $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем скобки:

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = abc - a + abc - b + abc - c$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) - (a + b + c) = 3abc - (a + b + c)$

Согласно условию задачи, $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $3abc = 3abc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Дано условие: $ab + ac + bc = 0$. Необходимо доказать тождество: $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем скобки:

$a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ca$

Теперь сгруппируем слагаемые, выделив сумму квадратов и сумму попарных произведений:

$(a^2 + b^2 + c^2) - ab - bc - ca = (a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ac)$

Согласно условию задачи, $ab + ac + bc = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(a^2 + b^2 + c^2) - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

699 Докажите, что если $a^2 = b^2 + c^2$, то $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = -abc$.

Для того чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать его левую часть, используя условие $a^2 = b^2 + c^2$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c$.

1. Раскроем скобки:

$(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = abc - a^2 - (abc - b^2) - (abc - c^2) = abc - a^2 - abc + b^2 - abc + c^2$

2. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc) + (-a^2 + b^2 + c^2) = -abc - a^2 + b^2 + c^2$

3. Перегруппируем слагаемые в скобках для удобства подстановки:

$-abc + (b^2 + c^2 - a^2)$

4. По условию задачи дано, что $a^2 = b^2 + c^2$. Отсюда следует, что выражение $b^2 + c^2 - a^2 = 0$.

5. Подставим полученное значение в наше выражение:

$-abc + 0 = -abc$

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равна $-abc$, что соответствует правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Путем алгебраических преобразований левой части и использования условия $a^2 = b^2 + c^2$ было показано, что она равна правой части ($-abc$).

700 Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:

a) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$;

б) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$;

в) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

а) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.
К обеим частям исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ прибавим 1.
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
Представим 1 как дробь с нужным знаменателем для каждой части:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$
Сложим дроби:
$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

б) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.
Из обеих частей исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ вычтем 1.
$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$
Представим 1 как дробь с нужным знаменателем для каждой части:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

в) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.
Пусть отношения в исходной пропорции равны некоторому числу $k$:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$
Из этого следует, что $a = bk$ и $c = dk$.
Теперь подставим эти выражения для $a$ и $c$ в левую часть доказываемого равенства:
$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$
В числителе вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$\frac{k(b+d)}{b+d}$
Если $b+d \neq 0$, можно сократить дробь на $(b+d)$, и мы получим $k$.
Правая часть доказываемого равенства, $\frac{a}{b}$, по нашему определению также равна $k$.
Поскольку и левая, и правая части равны $k$, они равны между собой. Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (и $b+d \neq 0$).

Проиллюстрируем доказанные утверждения на примере. Возьмем верную пропорцию $\frac{4}{2} = \frac{10}{5}$. Здесь $a=4$, $b=2$, $c=10$, $d=5$. Каждое отношение равно 2.

а) Проверим равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:
Левая часть: $\frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Правая часть: $\frac{10+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
$3 = 3$. Равенство выполняется.

б) Проверим равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:
Левая часть: $\frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Правая часть: $\frac{10-5}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$1 = 1$. Равенство выполняется.

в) Проверим равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:
Левая часть: $\frac{4+10}{2+5} = \frac{14}{7} = 2$.
Правая часть: $\frac{4}{2} = 2$.
$2 = 2$. Равенство выполняется.

701 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдите значение выражения

при заданном значении переменной:

а) $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1); c = 2,75;$

б) $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m); m = \frac{1}{6};$

в) $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1); a = -5.$

Образец. Преобразования можно сделать проще, если ввести замену. Например, в п. а обозначьте $3c^2 - 5c$ буквой $x$ и запишите выражение в виде

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1) = ...$

Закончите преобразование.

а)

Дано выражение $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1)$ при $c = 2,75$.

Для упрощения введем замену, как предложено в образце. Пусть $x = 3c^2 - 5c$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1)$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c((x - 1) - 4(x - 2) + 3(x + 1))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$c(x - 1 - 4x + 8 + 3x + 3) = c((x - 4x + 3x) + (-1 + 8 + 3)) = c(0 \cdot x + 10) = 10c$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $c = 2,75$:

$10c = 10 \cdot 2,75 = 27,5$

Ответ: 27,5

б)

Дано выражение $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m)$ при $m = \frac{1}{6}$.

Заметим, что во всех слагаемых повторяется выражение, содержащее $m^2$ и $m$. Для удобства перегруппируем слагаемые в скобках: $2m((5m^2 - m) + 3) + 3m((5m^2 - m) + 1) - 5m(5m^2 - m)$.

Введем замену. Пусть $y = 5m^2 - m$. Тогда выражение примет вид:

$2m(y + 3) + 3m(y + 1) - 5my$

Раскроем скобки:

$2my + 6m + 3my + 3m - 5my$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2my + 3my - 5my) + (6m + 3m) = 0 \cdot my + 9m = 9m$

Теперь подставим заданное значение $m = \frac{1}{6}$ в упрощенное выражение:

$9m = 9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

в)

Дано выражение $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1)$ при $a = -5$.

Заметим, что в каждом слагаемом в скобках есть общая часть $(a^2 + 3a)$. Введем замену: $z = a^2 + 3a$. Тогда выражение можно переписать так:

$3a(z + 2) - 4a(z + 1) + 2a(z - 1)$

Раскроем скобки:

$3az + 6a - 4az - 4a + 2az - 2a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3az - 4az + 2az) + (6a - 4a - 2a) = az + 0 = az$

Выполним обратную замену, подставив $z = a^2 + 3a$:

$az = a(a^2 + 3a) = a^3 + 3a^2$

Теперь подставим заданное значение $a = -5$ в полученное упрощенное выражение:

$(-5)^3 + 3(-5)^2 = -125 + 3 \cdot 25 = -125 + 75 = -50$

Ответ: -50