Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

708 МОДЕЛИРУЕМ С помощью рисунка 7.4 проиллюстрируйте равенство $(a+b+c)(d+e)=ad+bd+cd+ae+be+ce$. Докажите это равенство с помощью преобразований.

Математическая формула: $$(a+b+c)(d+e)=ad+bd+cd+ae+be+ce$$

Представление на рисунке: прямоугольник разделен на 6 меньших прямоугольников. По горизонтали он разделен на три части длинами $a$, $b$ и $c$. По вертикали он разделен на две части высотами $d$ и $e$. Области обозначены римскими цифрами: Верхний ряд: I (площадь $ad$), II (площадь $bd$), III (площадь $cd$). Нижний ряд: IV (площадь $ae$), V (площадь $be$), VI (площадь $ce$).

Рис. 7.4

Иллюстрация равенства с помощью рисунка

На рисунке 7.4 изображен большой прямоугольник. Его стороны равны $(a + b + c)$ и $(d + e)$. Площадь этого прямоугольника, вычисленная как произведение его сторон, равна $S_{общ} = (a + b + c)(d + e)$. Это выражение соответствует левой части доказываемого равенства.

Этот же прямоугольник разделен на шесть меньших прямоугольников (I, II, III, IV, V, VI). Общая площадь также может быть найдена как сумма площадей этих шести прямоугольников. Вычислим площадь каждого из них:
Площадь прямоугольника I: $S_I = a \cdot d = ad$.
Площадь прямоугольника II: $S_{II} = b \cdot d = bd$.
Площадь прямоугольника III: $S_{III} = c \cdot d = cd$.
Площадь прямоугольника IV: $S_{IV} = a \cdot e = ae$.
Площадь прямоугольника V: $S_V = b \cdot e = be$.
Площадь прямоугольника VI: $S_{VI} = c \cdot e = ce$.

Сумма площадей этих шести прямоугольников равна $S_{сумма} = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} + S_V + S_{VI} = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Это выражение соответствует правой части доказываемого равенства.

Так как площадь большого прямоугольника, вычисленная двумя способами ($S_{общ}$ и $S_{сумма}$), должна быть одинаковой, мы можем приравнять полученные выражения: $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Таким образом, рисунок геометрически иллюстрирует данное равенство.

Ответ: Площадь большого прямоугольника можно найти двумя способами: как произведение его сторон $(a + b + c)(d + e)$ и как сумму площадей шести составляющих его прямоугольников $ad + bd + cd + ae + be + ce$. Приравнивая эти два выражения, мы получаем требуемое равенство.

Доказательство равенства с помощью преобразований

Для доказательства равенства $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Раскроем скобки в левой части равенства. Сначала умножим сумму $(a + b + c)$ на $d$, а затем на $e$:
$(a + b + c)(d + e) = (a + b + c) \cdot d + (a + b + c) \cdot e$

Теперь применим распределительное свойство к каждому из полученных произведений:
$(a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d) + (a \cdot e + b \cdot e + c \cdot e)$

Раскрыв скобки, получаем:
$ad + bd + cd + ae + be + ce$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $(a + b + c)(d + e) = (a + b + c)d + (a + b + c)e = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

709 Представьте в виде многочлена:

а) $(y - 1)(y^2 + 2y - 1);$

б) $(z^2 + 3z + 2)(z - 5);$

в) $(a + b)(a^2 - ab + b^2);$

г) $(x^2 - xy + y^2)(x - y).$

а) Чтобы представить произведение в виде многочлена, необходимо каждый член первого множителя умножить на каждый член второго множителя и сложить полученные произведения.

$(y - 1)(y^2 + 2y - 1) = y \cdot (y^2 + 2y - 1) - 1 \cdot (y^2 + 2y - 1) =$

$= (y \cdot y^2 + y \cdot 2y - y \cdot 1) - (1 \cdot y^2 + 1 \cdot 2y - 1 \cdot 1) =$

$= (y^3 + 2y^2 - y) - (y^2 + 2y - 1) = y^3 + 2y^2 - y - y^2 - 2y + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$y^3 + (2y^2 - y^2) + (-y - 2y) + 1 = y^3 + y^2 - 3y + 1$

Ответ: $y^3 + y^2 - 3y + 1$

б) Умножим многочлен $(z^2 + 3z + 2)$ на двучлен $(z - 5)$ по тому же правилу.

$(z^2 + 3z + 2)(z - 5) = z^2 \cdot (z - 5) + 3z \cdot (z - 5) + 2 \cdot (z - 5) =$

$= (z^3 - 5z^2) + (3z^2 - 15z) + (2z - 10) =$

$= z^3 - 5z^2 + 3z^2 - 15z + 2z - 10$

Приводим подобные слагаемые:

$z^3 + (-5z^2 + 3z^2) + (-15z + 2z) - 10 = z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

Ответ: $z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

в) Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно "сумма кубов".

Формула суммы кубов имеет вид: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Следовательно, результат умножения сразу известен.

Можно также проверить это, раскрыв скобки:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) =$

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Приводим подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

г) Умножим многочлены $(x^2 - xy + y^2)(x - y)$. Для удобства можно поменять множители местами.

$(x - y)(x^2 - xy + y^2) = x \cdot (x^2 - xy + y^2) - y \cdot (x^2 - xy + y^2) =$

$= (x^3 - x^2y + xy^2) - (x^2y - xy^2 + y^3) =$

$= x^3 - x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2 - y^3$

Приводим подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

710 Упростите выражение:

а) $(7 - 2x - x^2) - (x - 2)(x + 3);$

б) $(3m^2 + 3n^2) - (2m + n)(m + 2n);$

в) $u(u + v) - (v - 1)(u - 1).$

а) Чтобы упростить выражение $(7 - 2x - x^2) - (x - 2)(x + 3)$, сначала раскроем скобки произведения многочленов $(x - 2)(x + 3)$.

$(x - 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(7 - 2x - x^2) - (x^2 + x - 6)$.

Раскроем оставшиеся скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак минус:

$7 - 2x - x^2 - x^2 - x + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^2 - x^2) + (-2x - x) + (7 + 6) = -2x^2 - 3x + 13$.

Ответ: $-2x^2 - 3x + 13$.

б) Чтобы упростить выражение $(3m^2 + 3n^2) - (2m + n)(m + 2n)$, раскроем произведение многочленов $(2m + n)(m + 2n)$.

$(2m + n)(m + 2n) = 2m \cdot m + 2m \cdot 2n + n \cdot m + n \cdot 2n = 2m^2 + 4mn + mn + 2n^2 = 2m^2 + 5mn + 2n^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(3m^2 + 3n^2) - (2m^2 + 5mn + 2n^2)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$3m^2 + 3n^2 - 2m^2 - 5mn - 2n^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3m^2 - 2m^2) + (3n^2 - 2n^2) - 5mn = m^2 + n^2 - 5mn$.

Ответ: $m^2 - 5mn + n^2$.

в) Чтобы упростить выражение $u(u + v) - (v - 1)(u - 1)$, раскроем скобки в каждом слагаемом.

Первое слагаемое: $u(u + v) = u^2 + uv$.

Второе слагаемое (произведение многочленов): $(v - 1)(u - 1) = v \cdot u - v \cdot 1 - 1 \cdot u + 1 \cdot 1 = vu - v - u + 1 = uv - u - v + 1$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(u^2 + uv) - (uv - u - v + 1)$.

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых:

$u^2 + uv - uv + u + v - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$u^2 + (uv - uv) + u + v - 1 = u^2 + u + v - 1$.

Ответ: $u^2 + u + v - 1$.

711 Применяем алгебру

Найдите значение выражения при заданном значении переменной:

а) $(z + 2)(z + 3) - z(z + 1), z = -6,5;$

б) $(c - 5)(c - 10) + 3c(c + 5), c = 3,5.$

а) Чтобы найти значение выражения $(z + 2)(z + 3) - z(z + 1)$ при $z = -6,5$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки.
Раскроем первую пару скобок (умножение многочлена на многочлен):
$(z + 2)(z + 3) = z \cdot z + z \cdot 3 + 2 \cdot z + 2 \cdot 3 = z^2 + 3z + 2z + 6 = z^2 + 5z + 6$.
Раскроем вторую часть выражения:
$-z(z + 1) = -z \cdot z - z \cdot 1 = -z^2 - z$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(z^2 + 5z + 6) + (-z^2 - z) = z^2 + 5z + 6 - z^2 - z$.
Приведем подобные слагаемые:
$(z^2 - z^2) + (5z - z) + 6 = 0 + 4z + 6 = 4z + 6$.
Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $z = -6,5$:
$4 \cdot (-6,5) + 6 = -26 + 6 = -20$.
Ответ: -20

б) Чтобы найти значение выражения $(c - 5)(c - 10) + 3c(c + 5)$ при $c = 3,5$, сначала упростим его. Раскроем скобки.
Раскроем первую пару скобок:
$(c - 5)(c - 10) = c \cdot c + c \cdot (-10) - 5 \cdot c - 5 \cdot (-10) = c^2 - 10c - 5c + 50 = c^2 - 15c + 50$.
Раскроем вторую часть выражения:
$3c(c + 5) = 3c \cdot c + 3c \cdot 5 = 3c^2 + 15c$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(c^2 - 15c + 50) + (3c^2 + 15c) = c^2 - 15c + 50 + 3c^2 + 15c$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 + 3c^2) + (-15c + 15c) + 50 = 4c^2 + 0 + 50 = 4c^2 + 50$.
Теперь подставим в упрощенное выражение значение $c = 3,5$:
$4 \cdot (3,5)^2 + 50 = 4 \cdot (3,5 \cdot 3,5) + 50 = 4 \cdot 12,25 + 50 = 49 + 50 = 99$.
Ответ: 99

712 Упростите выражение:

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1);$

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y);$

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1);$

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d).$

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1)$

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки, выполнив умножение многочленов, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(n + 1)(2n - 3) = n \cdot 2n + n \cdot (-3) + 1 \cdot 2n + 1 \cdot (-3) = 2n^2 - 3n + 2n - 3 = 2n^2 - n - 3$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(n - 1)(3n + 1) = n \cdot 3n + n \cdot 1 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + n - 3n - 1 = 3n^2 - 2n - 1$

3. Сложим полученные выражения:

$(2n^2 - n - 3) + (3n^2 - 2n - 1) = 2n^2 - n - 3 + 3n^2 - 2n - 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(2n^2 + 3n^2) + (-n - 2n) + (-3 - 1) = 5n^2 - 3n - 4$

Ответ: $5n^2 - 3n - 4$

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y)$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(x - y)(2x - 3y) = x \cdot 2x + x \cdot (-3y) - y \cdot 2x - y \cdot (-3y) = 2x^2 - 3xy - 2xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(3x - y)(2x + y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot y - y \cdot 2x - y \cdot y = 6x^2 + 3xy - 2xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$

3. Вычтем второе выражение из первого, обращая внимание на знак минус перед скобкой:

$(2x^2 - 5xy + 3y^2) - (6x^2 + xy - y^2) = 2x^2 - 5xy + 3y^2 - 6x^2 - xy + y^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 6x^2) + (-5xy - xy) + (3y^2 + y^2) = -4x^2 - 6xy + 4y^2$

Ответ: $-4x^2 - 6xy + 4y^2$

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и разностью квадратов.

1. Первое слагаемое представляет собой квадрат суммы: $(2a + 3)(2a + 3) = (2a + 3)^2$.

Используем формулу $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

$(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$

2. Второе слагаемое представляет собой произведение суммы и разности: $(2a + 1)(2a - 1)$.

Используем формулу $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:

$(2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$

3. Вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(4a^2 + 12a + 9) - (4a^2 - 1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + 12a + (9 + 1) = 12a + 10$

Ответ: $12a + 10$

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d)$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. В первом слагаемом поменяем местами члены во второй скобке: $(3c - d)(3c + d)$. Теперь это формула разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$:

$(3c)^2 - d^2 = 9c^2 - d^2$

2. Второе слагаемое раскроем, перемножив многочлены:

$(4c - d)(c - 4d) = 4c \cdot c + 4c \cdot (-4d) - d \cdot c - d \cdot (-4d) = 4c^2 - 16cd - cd + 4d^2 = 4c^2 - 17cd + 4d^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(9c^2 - d^2) + (4c^2 - 17cd + 4d^2) = 9c^2 - d^2 + 4c^2 - 17cd + 4d^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(9c^2 + 4c^2) - 17cd + (-d^2 + 4d^2) = 13c^2 - 17cd + 3d^2$

Ответ: $13c^2 - 17cd + 3d^2$

713 Решите уравнение:

a) $(x - 2)(x - 3) = x(x + 1);$

б) $(x + 4)(x + 6) - x^2 = 30;$

в) $(x - 5)(x + 1) - x = x^2 + 5;$

г) $(x - 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 4).$

а) $(x - 2)(x - 3) = x(x + 1)$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В левой части перемножим двучлены, а в правой — умножим $x$ на двучлен.

$x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 + x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 5x + 6 = x^2 + x$

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. Обратите внимание, что $x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 - 5x - x = -6$

$-6x = -6$

Найдем $x$, разделив обе части на $-6$:

$x = \frac{-6}{-6}$

$x = 1$

Ответ: $1$.

б) $(x + 4)(x + 6) - x^2 = 30$

Сначала раскроем скобки, перемножив двучлены:

$x^2 + 6x + 4x + 24 - x^2 = 30$

Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ сокращаются:

$10x + 24 = 30$

Перенесем числовое значение из левой части в правую:

$10x = 30 - 24$

$10x = 6$

Найдем $x$, разделив обе части на $10$:

$x = \frac{6}{10}$

$x = 0,6$

Ответ: $0,6$.

в) $(x - 5)(x + 1) - x = x^2 + 5$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + x - 5x - 5 - x = x^2 + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 5x - 5 = x^2 + 5$

Перенесем члены с переменной в левую часть, а числа — в правую. Члены $x^2$ взаимно уничтожатся:

$-5x = 5 + 5$

$-5x = 10$

Найдем $x$, разделив обе части на $-5$:

$x = \frac{10}{-5}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

г) $(x - 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножая двучлены:

$x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x - 2x + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$x^2 - 4x + 3 = x^2 - 6x + 8$

Перенесем все члены с $x$ влево, а числа вправо. Члены $x^2$ сокращаются:

$-4x + 6x = 8 - 3$

$2x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части на $2$:

$x = \frac{5}{2}$

$x = 2,5$

Ответ: $2,5$.

714. МОДЕЛИРУЕМ Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника (рис. 7.5) и запишите соответствующее равенство. Докажите это равенство алгебраически.

Одно выражение для площади всего прямоугольника: $(b+d)a$

Второе выражение для площади прямоугольника, как суммы площадей его частей: $c \cdot c + (b+d-c)c + b(a-c) + d(a-c)$

Запишем соответствующее равенство: $(b+d)a = c \cdot c + (b+d-c)c + b(a-c) + d(a-c)$

Докажем это равенство алгебраически.

Раскроем правую часть равенства: $c^2 + bc + dc - c^2 + ba - bc + da - dc$

Сгруппируем и сократим члены: $(c^2 - c^2) + (bc - bc) + (dc - dc) + ba + da$

$0 + 0 + 0 + ba + da$

$ba + da$

Вынесем общий множитель $a$: $(b+d)a$

Таким образом, левая часть $(b+d)a$ равна правой части $(b+d)a$, что доказывает равенство.

Рис. 7.5

Составление двух выражений для вычисления площади

Для нахождения площади большого прямоугольника, изображенного на рисунке, можно использовать два различных подхода.

1. Вычисление площади через общие размеры прямоугольника.
Сначала определим общую длину и ширину большого прямоугольника.
Его общая ширина складывается из длин отрезков $b$ и $d$, то есть она равна $b+d$.
Его общая высота складывается из длин отрезков $a$ и $c$, то есть она равна $a+c$.
Из рисунка видно, что вертикальная линия, разделяющая прямоугольники I и II, а также III и IV, является прямой. Это означает, что ширина прямоугольника I равна ширине прямоугольника III, а ширина прямоугольника II равна ширине прямоугольника IV. На схеме ширина прямоугольника I обозначена как $c$, а ширина прямоугольника III — как $b$. Следовательно, мы можем сделать вывод, что $b = c$.
Тогда общая высота прямоугольника, равная $a+c$, может быть записана как $a+b$.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, первое выражение для площади $S$ имеет вид:
$S = (b+d)(a+b)$

2. Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника: I, II, III и IV. Его общая площадь равна сумме площадей этих четырех частей.

• Площадь прямоугольника I: стороны $c$ и $c$. Учитывая, что $b=c$, его площадь $S_I = b \cdot b = b^2$.
• Площадь прямоугольника II: стороны $d$ и $c$. Его площадь $S_{II} = d \cdot c = db$.
• Площадь прямоугольника III: стороны $b$ и $a$. Его площадь $S_{III} = b \cdot a = ab$.
• Площадь прямоугольника IV: стороны $d$ и $a$. Его площадь $S_{IV} = d \cdot a = ad$.

Суммируя площади всех частей, получаем второе выражение для общей площади $S$:
$S = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} = b^2 + db + ab + ad$.
Для стандартного вида можно переставить слагаемые: $S = ab + ad + b^2 + bd$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади прямоугольника: $S = (b+d)(a+b)$ и $S = ab + ad + b^2 + bd$.

Запись соответствующего равенства

Поскольку оба выражения, полученные выше, описывают площадь одной и той же фигуры, они равны друг другу. Запишем это в виде равенства.

Ответ: $(b+d)(a+b) = ab + ad + b^2 + bd$.

Алгебраическое доказательство равенства

Для доказательства равенства необходимо показать, что его левая и правая части тождественно равны. Для этого преобразуем левую часть, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго).
Левая часть: $(b+d)(a+b)$.
$(b+d)(a+b) = b \cdot (a+b) + d \cdot (a+b)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$b \cdot a + b \cdot b + d \cdot a + d \cdot b = ba + b^2 + da + db$
Используя переместительный закон умножения ($xy = yx$), приведем выражение к виду правой части равенства:
$ab + b^2 + ad + bd$
Переставим слагаемые для полного соответствия с правой частью исходного равенства:
$ab + ad + b^2 + bd$
Таким образом, мы получили, что левая часть равенства $(b+d)(a+b)$ после преобразований стала идентична правой части $ab + ad + b^2 + bd$. Равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части равенства $(b+d)(a+b)$ путем раскрытия скобок приводит к выражению $ab + ad + b^2 + bd$, что полностью совпадает с правой частью. Следовательно, равенство является верным.

715 Выполните умножение:

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1);$

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s);$

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2);$

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c).$

а)

Чтобы найти произведение $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$, можно заметить, что выражения в скобках являются формулами сокращенного умножения для квадрата разности и квадрата суммы соответственно.
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
$(x - 1)^2 (x + 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:
$((x - 1)(x + 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$
Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

Альтернативный способ — сгруппировать слагаемые:
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1) = ((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$
Это разность квадратов вида $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = x^2 + 1$ и $B = 2x$.
$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

Ответ: $x^4 - 2x^2 + 1$

б)

Для умножения многочленов $(2t - v + s)(t + 2v - s)$ необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго (правило "фонтанчика").
$(2t - v + s)(t + 2v - s) = 2t(t + 2v - s) - v(t + 2v - s) + s(t + 2v - s)$
Раскроем скобки:
$= 2t \cdot t + 2t \cdot 2v + 2t \cdot (-s) - v \cdot t - v \cdot 2v - v \cdot (-s) + s \cdot t + s \cdot 2v + s \cdot (-s)$
$= 2t^2 + 4tv - 2ts - vt - 2v^2 + vs + st + 2sv - s^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (учитывая, что $tv=vt$, $ts=st$ и $vs=sv$):
$= 2t^2 - 2v^2 - s^2 + (4tv - tv) + (-2ts + st) + (vs + 2sv)$
$= 2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

Ответ: $2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

в)

В выражении $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$ можно сгруппировать слагаемые, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Представим выражение в следующем виде:
$((y^2 - 2) - 3y)((y^2 - 2) + 3y)$
Здесь $a = y^2 - 2$ и $b = 3y$. Применяем формулу:
$(y^2 - 2)^2 - (3y)^2$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2 + 2^2 = y^4 - 4y^2 + 4$
Возведем в квадрат второе слагаемое:
$(3y)^2 = 9y^2$
Теперь выполним вычитание:
$(y^4 - 4y^2 + 4) - 9y^2 = y^4 - 4y^2 - 9y^2 + 4 = y^4 - 13y^2 + 4$

Ответ: $y^4 - 13y^2 + 4$

г)

Чтобы выполнить умножение $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c)$, перемножим последовательно каждый член первого многочлена на второй многочлен.
$(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c) = a(2a - b + 2c) + 2b(2a - b + 2c) + 3c(2a - b + 2c)$
Раскроем скобки:
$= (2a^2 - ab + 2ac) + (4ab - 2b^2 + 4bc) + (6ac - 3bc + 6c^2)$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= 2a^2 - ab + 2ac + 4ab - 2b^2 + 4bc + 6ac - 3bc + 6c^2$
$= 2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + (-ab + 4ab) + (2ac + 6ac) + (4bc - 3bc)$
$= 2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

Ответ: $2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

716 Представьте в виде многочлена:

а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3);$

в) $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1);$

г) $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1).$

а) Чтобы представить выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в виде многочлена, будем выполнять умножение по шагам. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x - 1)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.

Теперь умножим полученный многочлен $(x^2 - 4x + 3)$ на оставшуюся скобку $(x - 5)$:

$(x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x^2 \cdot (x - 5) - 4x \cdot (x - 5) + 3 \cdot (x - 5) = x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-5x^2 - 4x^2) + (20x + 3x) - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

Ответ: $x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

б) Чтобы представить выражение $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3)$ в виде многочлена, раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом, а затем приведем подобные слагаемые.

Преобразуем первое слагаемое $x(x - 1)(x - 2)$:

$x((x - 1)(x - 2)) = x(x^2 - 2x - x + 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.

Преобразуем второе слагаемое $-x^2(x - 3)$:

$-x^2(x - 3) = -x^3 + 3x^2$.

Теперь выполним вычитание и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - 3x^2 + 2x) + (-x^3 + 3x^2) = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + 2x = 0 + 0 + 2x = 2x$.

Ответ: $2x$.

в) Выражение $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$ является примером формулы разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$.

В данном случае $a = y$, $b = 1$ и $n = 5$. Таким образом, произведение равно $y^5 - 1^5 = y^5 - 1$.

Проверим это, выполнив почленное умножение:

$(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) - 1(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$

$= (y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y) - (y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y - y^4 - y^3 - y^2 - y - 1$.

После приведения подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$y^5 + (y^4 - y^4) + (y^3 - y^3) + (y^2 - y^2) + (y - y) - 1 = y^5 - 1$.

Ответ: $y^5 - 1$.

г) Выражение $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$ является примером формулы суммы нечетных степеней $a^{k} + b^{k} = (a + b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$ при нечетном $k$.

В данном случае $a = n$, $b = 1$ и степень $k = 5$. Таким образом, произведение равно $n^5 + 1^5 = n^5 + 1$.

Проверим это, выполнив почленное умножение:

$(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) + 1(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$

$= (n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n) + (n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n + n^4 - n^3 + n^2 - n + 1$.

После приведения подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$n^5 + (-n^4 + n^4) + (n^3 - n^3) + (-n^2 + n^2) + (n - n) + 1 = n^5 + 1$.

Ответ: $n^5 + 1$.