Номер 715, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 715, страница 203.

715 Выполните умножение:

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1);$

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s);$

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2);$

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c).$

а)

Чтобы найти произведение $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$, можно заметить, что выражения в скобках являются формулами сокращенного умножения для квадрата разности и квадрата суммы соответственно.
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
$(x - 1)^2 (x + 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:
$((x - 1)(x + 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$
Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

Альтернативный способ — сгруппировать слагаемые:
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1) = ((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$
Это разность квадратов вида $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = x^2 + 1$ и $B = 2x$.
$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

Ответ: $x^4 - 2x^2 + 1$

б)

Для умножения многочленов $(2t - v + s)(t + 2v - s)$ необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго (правило "фонтанчика").
$(2t - v + s)(t + 2v - s) = 2t(t + 2v - s) - v(t + 2v - s) + s(t + 2v - s)$
Раскроем скобки:
$= 2t \cdot t + 2t \cdot 2v + 2t \cdot (-s) - v \cdot t - v \cdot 2v - v \cdot (-s) + s \cdot t + s \cdot 2v + s \cdot (-s)$
$= 2t^2 + 4tv - 2ts - vt - 2v^2 + vs + st + 2sv - s^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (учитывая, что $tv=vt$, $ts=st$ и $vs=sv$):
$= 2t^2 - 2v^2 - s^2 + (4tv - tv) + (-2ts + st) + (vs + 2sv)$
$= 2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

Ответ: $2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

в)

В выражении $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$ можно сгруппировать слагаемые, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Представим выражение в следующем виде:
$((y^2 - 2) - 3y)((y^2 - 2) + 3y)$
Здесь $a = y^2 - 2$ и $b = 3y$. Применяем формулу:
$(y^2 - 2)^2 - (3y)^2$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2 + 2^2 = y^4 - 4y^2 + 4$
Возведем в квадрат второе слагаемое:
$(3y)^2 = 9y^2$
Теперь выполним вычитание:
$(y^4 - 4y^2 + 4) - 9y^2 = y^4 - 4y^2 - 9y^2 + 4 = y^4 - 13y^2 + 4$

Ответ: $y^4 - 13y^2 + 4$

г)

Чтобы выполнить умножение $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c)$, перемножим последовательно каждый член первого многочлена на второй многочлен.
$(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c) = a(2a - b + 2c) + 2b(2a - b + 2c) + 3c(2a - b + 2c)$
Раскроем скобки:
$= (2a^2 - ab + 2ac) + (4ab - 2b^2 + 4bc) + (6ac - 3bc + 6c^2)$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= 2a^2 - ab + 2ac + 4ab - 2b^2 + 4bc + 6ac - 3bc + 6c^2$
$= 2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + (-ab + 4ab) + (2ac + 6ac) + (4bc - 3bc)$
$= 2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

Ответ: $2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$