Номер 718, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 718, страница 204.

ДОКАЗЫВАЕМ (716–719)

718 Докажите, что:

а) $(a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc;$

б) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc$, преобразуем его правую часть.

Рассмотрим правую часть равенства:
$(a + b)(a + b + c) + ac + bc$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $c$:
$(a + b)(a + b + c) + c(a + b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:
$(a + b) \cdot ((a + b + c) + c)$

Упростим выражение во вторых скобках:
$(a + b)(a + b + 2c)$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$, раскроем скобки в правой части.

Для этого умножим каждый член из первой скобки $(a+b+c)$ на весь многочлен во второй скобке $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$:
$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:
$a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c$
$b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc$
$c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2$

Теперь сложим все полученные выражения:
$(a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc) + (a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Многие из них взаимно уничтожаются:
$a^3 + b^3 + c^3 + (ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-a^2b + a^2b) + (-a^2c + a^2c) + (bc^2 - bc^2) + (-b^2c + b^2c) - abc - abc - abc$

После сокращения получаем:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

Результат преобразования правой части совпал с левой частью, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.