Номер 719, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Умножение многочлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 719, страница 204.

719 Докажите, что если $ac + bc + ac = 0$, то $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для того чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Левая часть равенства (ЛЧ):

ЛЧ = $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$

Раскроем последовательно каждую пару скобок:

Первое слагаемое: $(a - b)(a - c) = a^2 - ac - ab + bc$

Второе слагаемое: $(b - c)(b - a) = b^2 - ab - bc + ac$

Третье слагаемое: $(c - a)(c - b) = c^2 - cb - ac + ab = c^2 - bc - ac + ab$

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы упростить выражение:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac)$

Приведем подобные:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $ab + bc + ac = 0$. Подставим это значение в полученное нами выражение:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (0)$

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2$

Мы видим, что преобразованная левая часть равенства совпадает с его правой частью ($a^2 + b^2 + c^2$). Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Путем алгебраических преобразований левой части выражения $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$ было получено выражение $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$. С учетом условия $ab + bc + ac = 0$, левая часть становится равной $a^2 + b^2 + c^2$, что и требовалось доказать.