Номер 2, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 2, страница 206.

Докажите формулу:

а) квадрата суммы;

б) квадрата разности.

а) квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$ — это одна из формул сокращённого умножения, которая имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Её нужно доказать, то есть показать, что левая и правая части тождественно равны.

Алгебраическое доказательство

По определению степени, квадрат выражения равен произведению этого выражения на само себя. Запишем это для суммы $(a+b)$:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Теперь раскроем скобки, используя распределительный закон умножения (умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго):

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Так как от перестановки множителей произведение не меняется (коммутативный закон), то $b \cdot a = a \cdot b$. Мы можем привести подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство

Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $(a+b)$. Его площадь, очевидно, равна $S = (a+b)^2$. Разделим каждую сторону этого квадрата на два отрезка длиной $a$ и $b$. Затем проведём через точки деления линии, параллельные сторонам квадрата. Это разделит наш большой квадрат на четыре меньшие фигуры: квадрат со стороной $a$ (и площадью $a^2$), квадрат со стороной $b$ (и площадью $b^2$), а также два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (площадь каждого из которых равна $ab$).

Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырёх фигур:

$S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$

Поскольку мы двумя разными способами вычислили площадь одного и того же квадрата, мы можем приравнять полученные выражения. Следовательно, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) квадрата разности

Формула квадрата разности двух выражений $a$ и $b$ имеет вид: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Докажем её.

Алгебраическое доказательство

Аналогично предыдущему пункту, представим квадрат разности как произведение двух одинаковых скобок:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

Раскроем скобки, внимательно следя за знаками:

$(a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Выполним умножение:

$a^2 - ab - ba + b^2$

Приведём подобные слагаемые, учитывая, что $ab = ba$:

$a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство через формулу квадрата суммы

Этот способ основан на уже доказанной формуле для квадрата суммы. Представим разность $(a-b)$ как сумму $a + (-b)$ и применим к ней формулу квадрата суммы:

$(a-b)^2 = (a + (-b))^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где в нашем случае $x=a$ и $y=-b$, получаем:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Мы снова пришли к искомой формуле, что подтверждает её верность.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.