Номер 4, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 4, страница 206.

Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 4$;

б) $a^2 + 6a + 9$;

в) $m^2 - 4m + 2?

Для того чтобы определить, можно ли представить трёхчлен в виде квадрата суммы или разности, нужно проверить, соответствует ли он одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Проанализируем каждый трёхчлен отдельно.

а) $x^2 - 6x + 4$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $x^2$ может быть $A^2$, тогда $A = x$. Третий член $4$ может быть $B^2$, тогда $B = 2$.

Теперь проверим, равен ли средний член (без учёта знака) удвоенному произведению $A$ и $B$.

$2AB = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

В исходном трёхчлене средний член равен $6x$. Поскольку $4x \neq 6x$, данное выражение не является полным квадратом разности.

Ответ: нет, нельзя.

б) $a^2 + 6a + 9$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $a^2$ может быть $A^2$, тогда $A = a$. Третий член $9$ может быть $B^2$, тогда $B = 3$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$.

$2AB = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

Средний член в исходном трёхчлене также равен $6a$. Все условия формулы выполнены. Следовательно, данный трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы.

$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Ответ: да, можно. Это $(a+3)^2$.

в) $m^2 - 4m + 2$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $m^2$ может быть $A^2$, тогда $A = m$.

Исходя из среднего члена $4m$, который должен быть равен $2AB$, получаем: $2 \cdot m \cdot B = 4m$, откуда $B=2$.

Тогда третий член по формуле должен быть равен $B^2 = 2^2 = 4$.

В исходном трёхчлене третий член равен $2$. Поскольку $2 \neq 4$, данное выражение не является полным квадратом разности.

Ответ: нет, нельзя.