Номер 730, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 730, страница 207.

730 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $(a-b)^2 = (b-a)^2$;

б) $(x+y)^2 = (-x-y)^2$.

а) Чтобы доказать тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$, преобразуем правую часть равенства. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$:
$b - a = -1 \cdot (-b + a) = -(a - b)$
Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в правую часть исходного тождества:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$
Используем свойство степени, согласно которому $(xy)^n = x^n y^n$. В нашем случае $x=-1$, $y=(a-b)$ и $n=2$:
$(-(a-b))^2 = (-1)^2 \cdot (a-b)^2$
Так как $(-1)^2 = 1$, получаем:
$1 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$
Мы преобразовали правую часть равенства и получили выражение, в точности равное левой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$, преобразуем правую часть равенства. В выражении $(-x-y)$ вынесем за скобки общий множитель $-1$:
$-x - y = -1 \cdot (x + y) = -(x + y)$
Подставим это выражение в правую часть исходного тождества:
$(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$
Воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$:
$(-(x+y))^2 = (-1)^2 \cdot (x+y)^2$
Поскольку $(-1)^2 = 1$, выражение упрощается до:
$1 \cdot (x+y)^2 = (x+y)^2$
В результате преобразования правая часть стала равна левой, что и доказывает истинность тождества.
Ответ: Тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$ доказано.