Номер 733, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 733, страница 207.

РАССУЖДАЕМ (733–734)

733 Заполните пропуски:

а) $(2x + ...)^2 = ... + ... + y^2;$

б) $(3y - ...)^2 = ... - 24y + ...;$

в) $(... + 2m)^2 = 4n^2 + ... + ...;$

г) $(... - ...)^2 = a^2 - ... + 9.$

а) Для того, чтобы заполнить пропуски в выражении $(2x + ...)^2 = ... + ... + y^2$, мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае, первый член в скобках $a = 2x$. Из правой части равенства мы видим, что квадрат второго члена равен $y^2$, следовательно, второй член в скобках $b = y$. Теперь, зная оба члена, мы можем найти пропущенные части в разложении: Первый пропуск - это квадрат первого члена: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$. Второй пропуск - это удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$. Таким образом, полностью заполненное равенство выглядит так: $(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Ответ: $(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.

б) В выражении $(3y - ...)^2 = ... - 24y + ...$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член в скобках $a = 3y$. В разложении нам известен средний член, который равен удвоенному произведению членов со знаком минус: $-2ab = -24y$. Подставим известное значение $a$: $-2 \cdot (3y) \cdot b = -24y$. Упростим: $-6yb = -24y$. Отсюда находим второй член в скобках: $b = \frac{-24y}{-6y} = 4$. Теперь мы можем найти оставшиеся пропуски в правой части равенства: Первый пропуск - это квадрат первого члена: $a^2 = (3y)^2 = 9y^2$. Третий пропуск - это квадрат второго члена: $b^2 = 4^2 = 16$. Полное равенство: $(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16$.
Ответ: $(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16$.

в) В выражении $(... + 2m)^2 = 4n^2 + ... + ...$ снова используется формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второй член в скобках нам известен: $b = 2m$. Из правой части равенства мы видим, что квадрат первого члена $a^2 = 4n^2$. Отсюда находим первый член в скобках: $a = \sqrt{4n^2} = 2n$. Теперь, когда мы знаем оба члена в скобках $(2n + 2m)$, мы можем найти пропущенные члены в разложении: Средний член (удвоенное произведение): $2ab = 2 \cdot (2n) \cdot (2m) = 8nm$. Последний член (квадрат второго члена): $b^2 = (2m)^2 = 4m^2$. Полное равенство: $(2n + 2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.
Ответ: $(2n + 2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.

г) Для выражения $(... - ...)^2 = a^2 - ... + 9$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Из правой части равенства мы можем определить члены в скобках. Квадрат первого члена $x^2 = a^2$, значит, первый член в скобках $x = a$. Квадрат второго члена $y^2 = 9$, значит, второй член в скобках $y = 3$. Теперь мы знаем выражение в скобках: $(a - 3)$. Осталось найти пропущенный средний член в разложении, который равен удвоенному произведению со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 3 = -6a$. Полное равенство: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.
Ответ: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.