Номер 739, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 739, страница 208.

739 МОДЕЛИРУЕМ

Проиллюстрируйте с помощью рисунка 7.7 формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рис. 7.7

Для иллюстрации формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на площади фигур, изображенных на рисунке 7.7.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$, его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$. Внутри него находится меньший квадрат (заштрихованный по диагонали) со стороной $(a-b)$, площадь которого равна $(a-b)^2$. Чтобы найти эту площадь, мы можем из площади большого квадрата вычесть площадь L-образной фигуры (гномона), которая его окружает.

L-образная фигура состоит из трех частей: двух прямоугольников со сторонами $b$ и $(a-b)$ и одного квадрата со стороной $b$. Суммарная площадь этих трех частей составляет: $S_{L-фигура} = b(a-b) + (a-b)b + b^2$. Раскрыв скобки и упростив, получим: $S_{L-фигура} = (ab - b^2) + (ab - b^2) + b^2 = 2ab - b^2$.

Теперь, чтобы найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$, вычтем найденную площадь L-образной фигуры из общей площади большого квадрата: $(a-b)^2 = S_{общ} - S_{L-фигура} = a^2 - (2ab - b^2)$.

Раскрыв скобки, мы получаем искомое тождество: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Таким образом, формула квадрата разности проиллюстрирована геометрически.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно представить как площадь большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), из которой вычтена площадь L-образной фигуры. Площадь L-образной фигуры, в свою очередь, состоит из двух прямоугольников со сторонами $b$ и $(a-b)$ и одного квадрата со стороной $b$. Суммарная площадь этих трех фигур равна $b(a-b) + (a-b)b + b^2 = 2ab - 2b^2 + b^2 = 2ab - b^2$. Вычитая эту площадь из площади большого квадрата, получаем: $(a-b)^2 = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$, что и доказывает формулу.