Номер 746, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 746, страница 209.

746 Докажите, что:

а) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2;$

б) $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2;$

в) $\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab} = 4;$

г) $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab.$

а)

Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ раскроем скобки в левой и правой частях равенства и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они равны: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$ раскроем скобки в обеих частях равенства.

Преобразуем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(p^2 + q^2)^2 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Преобразуем правую часть, используя формулу квадрата разности:

$(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = ((p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2) + (2pq)^2$

$= (p^4 - 2p^2q^2 + q^4) + 4p^2q^2$

Приведем подобные слагаемые:

$= p^4 - 2p^2q^2 + 4p^2q^2 + q^4 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Левая и правая части равенства равны: $p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Чтобы доказать тождество $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = 4$, преобразуем числитель дроби в левой части, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a+b$ и $y = a-b$.

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b)-(a-b)) \cdot ((a+b)+(a-b))$

$= (a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab$.

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства (при условии, что $ab \ne 0$):

$\frac{4ab}{ab} = 4$.

Получили верное равенство $4=4$.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab$, преобразуем выражение в числителе дроби, также используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a-b$ и $y = a+b$.

$(a-b)^2 - (a+b)^2 = ((a-b)-(a+b)) \cdot ((a-b)+(a+b))$

$= (a-b-a-b) \cdot (a-b+a+b) = (-2b) \cdot (2a) = -4ab$.

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$-\frac{-4ab}{4} = -(-ab) = ab$.

Получили верное равенство $ab=ab$.

Ответ: Тождество доказано.