Страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

742 Укажите пары равных выражений, пары противоположных выражений:

а) $(a-b)^2$, $(b-a)^2$, $-(a-b)^2$;

б) $(a-b)^3$, $(b-a)^3$, $-(b-a)^3$;

в) $(a-b)^4$, $(b-a)^4$, $-(b-a)^4$.

Чтобы найти равные и противоположные выражения, мы будем использовать свойство $b-a = -(a-b)$ и правила возведения в степень.

а) Даны выражения: $(a-b)^2$, $(b-a)^2$, $-(a-b)^2$.

Показатель степени $n=2$ является четным числом. Для четных степеней справедливо равенство $(x-y)^n = (y-x)^n$, так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (-1)^2 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^2$ и $(b-a)^2$.

Противоположными называются выражения, сумма которых равна нулю (например, $X$ и $-X$).

Пары противоположных выражений:

1. $(a-b)^2$ и $-(a-b)^2$ (противоположны по определению).

2. Поскольку $(a-b)^2 = (b-a)^2$, то пара $(b-a)^2$ и $-(a-b)^2$ также является противоположной.

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^2$ и $(b-a)^2$; пары противоположных выражений: $(a-b)^2$ и $-(a-b)^2$; $(b-a)^2$ и $-(a-b)^2$.

б) Даны выражения: $(a-b)^3$, $(b-a)^3$, $-(b-a)^3$.

Показатель степени $n=3$ является нечетным числом. Для нечетных степеней справедливо равенство $(y-x)^n = -(x-y)^n$, так как $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3 \cdot (a-b)^3 = -(a-b)^3$.

Из этого следует, что пара $(a-b)^3$ и $(b-a)^3$ является парой противоположных выражений.

Теперь сравним выражения $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$. Используя найденное выше соотношение $(b-a)^3 = -(a-b)^3$, получаем: $-(b-a)^3 = -(-(a-b)^3) = (a-b)^3$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$.

Другие пары противоположных выражений:

1. $(b-a)^3$ и $-(b-a)^3$ (противоположны по определению).

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$; пары противоположных выражений: $(a-b)^3$ и $(b-a)^3$; $(b-a)^3$ и $-(b-a)^3$.

в) Даны выражения: $(a-b)^4$, $(b-a)^4$, $-(b-a)^4$.

Показатель степени $n=4$ является четным числом, поэтому, как и в пункте а), $(b-a)^4 = (a-b)^4$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^4$ и $(b-a)^4$.

Пары противоположных выражений:

1. $(b-a)^4$ и $-(b-a)^4$ (противоположны по определению).

2. Поскольку $(a-b)^4 = (b-a)^4$, то пара $(a-b)^4$ и $-(b-a)^4$ также является противоположной.

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^4$ и $(b-a)^4$; пары противоположных выражений: $(a-b)^4$ и $-(b-a)^4$; $(b-a)^4$ и $-(b-a)^4$.

743 Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

а) $(x - 3)(3 - x)$;

б) $(2a^2 - b)(b - 2a^2)$;

в) $(3x + 2y)(-3x - 2y)$;

г) $(-c^2 - 2d)(c^2 + 2d)$.

а) $(x - 3)(3 - x)$
Для использования формулы сокращенного умножения, необходимо преобразовать один из множителей. Вынесем знак минус за скобки во втором множителе: $(3 - x) = -(x - 3)$.
Исходное выражение примет вид:
$(x - 3) \cdot (-(x - 3)) = -(x - 3)(x - 3) = -(x - 3)^2$
Теперь применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$-(x - 3)^2 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = -(x^2 - 6x + 9)$
Раскроем скобки, поменяв знаки на противоположные:
$-x^2 + 6x - 9$
Ответ: $-x^2 + 6x - 9$

б) $(2a^2 - b)(b - 2a^2)$
Это выражение похоже на предыдущее. Вынесем минус за скобки во втором множителе: $(b - 2a^2) = -(2a^2 - b)$.
Получим:
$(2a^2 - b) \cdot (-(2a^2 - b)) = -(2a^2 - b)^2$
Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=2a^2$ и $y=b$:
$-((2a^2)^2 - 2 \cdot (2a^2) \cdot b + b^2) = -(4a^4 - 4a^2b + b^2)$
Раскроем скобки:
$-4a^4 + 4a^2b - b^2$
Ответ: $-4a^4 + 4a^2b - b^2$

в) $(3x + 2y)(-3x - 2y)$
Вынесем знак минус из второго множителя: $(-3x - 2y) = -(3x + 2y)$.
Выражение преобразуется к виду:
$(3x + 2y) \cdot (-(3x + 2y)) = -(3x + 2y)^2$
Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$-((3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2) = -(9x^2 + 12xy + 4y^2)$
Раскроем скобки:
$-9x^2 - 12xy - 4y^2$
Ответ: $-9x^2 - 12xy - 4y^2$

г) $(-c^2 - 2d)(c^2 + 2d)$
Вынесем знак минус из первого множителя: $(-c^2 - 2d) = -(c^2 + 2d)$.
Тогда выражение можно переписать так:
$-(c^2 + 2d)(c^2 + 2d) = -(c^2 + 2d)^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=c^2$ и $b=2d$:
$-((c^2)^2 + 2 \cdot c^2 \cdot (2d) + (2d)^2) = -(c^4 + 4c^2d + 4d^2)$
Раскроем скобки:
$-c^4 - 4c^2d - 4d^2$
Ответ: $-c^4 - 4c^2d - 4d^2$

744 Упростите выражение:

а) $(y + 2)^2 - 2(y + 1)^2$;

б) $4(2 - x)^2 + 5(x - 5)^2$;

в) $(3 - 5x)^2 - (3x - 2)(5x + 1)$;

г) $6(a - 2)(a - 3) - 4(a - 3)^2$.

а) Для упрощения выражения $(y + 2)^2 - 2(y + 1)^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сначала раскроем каждый квадрат в выражении:

$(y + 2)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4$

$(y + 1)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 + 2y + 1$

Теперь подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение:

$(y^2 + 4y + 4) - 2(y^2 + 2y + 1)$

Раскроем скобки, умножив второй многочлен на $-2$:

$y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y - 2$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(y^2 - 2y^2) + (4y - 4y) + (4 - 2) = -y^2 + 0 + 2 = -y^2 + 2$

Ответ: $-y^2 + 2$.

б) Для упрощения выражения $4(2 - x)^2 + 5(x - 5)^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем каждый квадрат в выражении:

$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

Подставим полученные многочлены в исходное выражение и умножим их на соответствующие коэффициенты:

$4(4 - 4x + x^2) + 5(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки:

$16 - 16x + 4x^2 + 5x^2 - 50x + 125$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4x^2 + 5x^2) + (-16x - 50x) + (16 + 125) = 9x^2 - 66x + 141$

Ответ: $9x^2 - 66x + 141$.

в) Для упрощения выражения $(3 - 5x)^2 - (3x - 2)(5x + 1)$ раскроем квадрат разности и произведение двух скобок.

Раскроем квадрат разности:

$(3 - 5x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2 = 9 - 30x + 25x^2$

Раскроем произведение скобок:

$(3x - 2)(5x + 1) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 5x - 2 \cdot 1 = 15x^2 + 3x - 10x - 2 = 15x^2 - 7x - 2$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(9 - 30x + 25x^2) - (15x^2 - 7x - 2)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых на противоположные:

$25x^2 - 30x + 9 - 15x^2 + 7x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 15x^2) + (-30x + 7x) + (9 + 2) = 10x^2 - 23x + 11$

Ответ: $10x^2 - 23x + 11$.

г) Для упрощения выражения $6(a - 2)(a - 3) - 4(a - 3)^2$ раскроем скобки в каждом члене выражения.

Сначала раскроем произведение скобок и квадрат разности:

$(a - 2)(a - 3) = a^2 - 3a - 2a + 6 = a^2 - 5a + 6$

$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

Теперь подставим раскрытые выражения обратно и умножим на коэффициенты:

$6(a^2 - 5a + 6) - 4(a^2 - 6a + 9) = (6a^2 - 30a + 36) - (4a^2 - 24a + 36)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$6a^2 - 30a + 36 - 4a^2 + 24a - 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - 4a^2) + (-30a + 24a) + (36 - 36) = 2a^2 - 6a$

Ответ: $2a^2 - 6a$.

745 Упростите выражение:

a) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8);$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x).$

Подсказка. Сделайте удобную замену.

Рассмотрим выражение $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8)$.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся подсказкой и сделаем замену. Заметим, что группа слагаемых $(m^2 + n)$ повторяется во всех частях выражения.

Пусть $a = m^2 + n$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(a - 4)^2 - (a - 1)(a - 8)$

Теперь раскроем скобки. Первую скобку раскроем по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Вторую часть раскроем путем перемножения двучленов.

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - (a \cdot a - 8a - 1 \cdot a + (-1)(-8)) = (a^2 - 8a + 16) - (a^2 - 9a + 8)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$a^2 - 8a + 16 - a^2 + 9a - 8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-8a + 9a) + (16 - 8) = a + 8$

Теперь выполним обратную замену, подставив $m^2 + n$ вместо $a$:

$a + 8 = m^2 + n + 8$

Ответ: $m^2 + n + 8$

Рассмотрим выражение $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x)$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену, чтобы упростить выражение. Общая часть здесь — это $(2x^2 + x)$.

Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда выражение примет вид:

$(y - 5)^2 - y(y - 1) + 9y$

Теперь раскроем скобки. Для $(y - 5)^2$ используем формулу квадрата разности, а для $-y(y - 1)$ — распределительный закон умножения.

$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - (y^2 - y) + 9y = (y^2 - 10y + 25) - y^2 + y + 9y$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 10y + 25 - y^2 + y + 9y$

$(y^2 - y^2) + (-10y + y + 9y) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$

В результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократились, и осталась только константа.

Ответ: $25$

746 Докажите, что:

а) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2;$

б) $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2;$

в) $\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab} = 4;$

г) $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab.$

а)

Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ раскроем скобки в левой и правой частях равенства и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они равны: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$ раскроем скобки в обеих частях равенства.

Преобразуем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(p^2 + q^2)^2 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Преобразуем правую часть, используя формулу квадрата разности:

$(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = ((p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2) + (2pq)^2$

$= (p^4 - 2p^2q^2 + q^4) + 4p^2q^2$

Приведем подобные слагаемые:

$= p^4 - 2p^2q^2 + 4p^2q^2 + q^4 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Левая и правая части равенства равны: $p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4$.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Чтобы доказать тождество $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = 4$, преобразуем числитель дроби в левой части, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a+b$ и $y = a-b$.

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = ((a+b)-(a-b)) \cdot ((a+b)+(a-b))$

$= (a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab$.

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства (при условии, что $ab \ne 0$):

$\frac{4ab}{ab} = 4$.

Получили верное равенство $4=4$.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab$, преобразуем выражение в числителе дроби, также используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В данном случае $x = a-b$ и $y = a+b$.

$(a-b)^2 - (a+b)^2 = ((a-b)-(a+b)) \cdot ((a-b)+(a+b))$

$= (a-b-a-b) \cdot (a-b+a+b) = (-2b) \cdot (2a) = -4ab$.

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$-\frac{-4ab}{4} = -(-ab) = ab$.

Получили верное равенство $ab=ab$.

Ответ: Тождество доказано.

747 Выведите формулу куба суммы

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте выражение:

a) $(x + y)^3$

б) $(x + 2y)^3$

Чтобы вывести формулу куба суммы $(a+b)^3$, представим это выражение как произведение $(a+b)$ на $(a+b)^2$. Формула квадрата суммы нам известна: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Теперь выполним умножение многочленов:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3$

В результате получаем искомую формулу:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Используем эту формулу для преобразования выражений.

а) Чтобы преобразовать выражение $(x+y)^3$, подставим в формулу куба суммы $a=x$ и $b=y$.

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б) Чтобы преобразовать выражение $(x+2y)^3$, подставим в формулу куба суммы $a=x$ и $b=2y$.

$(x+2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Теперь упростим полученное выражение, выполнив все действия:

$x^3 + (3 \cdot 2)x^2y + 3x(4y^2) + 8y^3$

$x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

748 Выведите формулу куба разности

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

С помощью этой формулы представьте в виде многочлена:

а) $(x - y)^3$;

б) $(3x - y)^3$.

Для вывода формулы куба разности $(a-b)^3$ представим это выражение в виде произведения и раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат, а затем умножим на $(a-b)$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Мы знаем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь умножим каждый член второй скобки на $a$ и на $-b$:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы вывели формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь применим эту формулу для преобразования выражений в многочлены.

а) Чтобы представить выражение $(x-y)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности, где $a=x$ и $b=y$.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(x-y)^3 = (x)^3 - 3(x)^2(y) + 3(x)(y)^2 - (y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

б) Чтобы представить выражение $(3x-y)^3$ в виде многочлена, воспользуемся той же формулой, но теперь $a=3x$ и $b=y$.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(3x-y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(y) + 3(3x)(y)^2 - (y)^3$

Теперь выполним вычисления:

$(3x)^3 = 27x^3$

$3(3x)^2(y) = 3(9x^2)(y) = 27x^2y$

$3(3x)(y)^2 = 9xy^2$

$(y)^3 = y^3$

Собираем все вместе:

$(3x-y)^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности, представьте в виде многочлена выражение:

а) $(a + b)^4;$

б) $(a - b)^4.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Выражение в четвертой степени можно представить как квадрат квадрата: $z^4 = (z^2)^2$.

а) $(a + b)^4$

Представим выражение $(a + b)^4$ как квадрат выражения $(a+b)^2$:

$(a + b)^4 = ((a + b)^2)^2$

Сначала раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим полученный многочлен обратно в исходное выражение:

$((a + b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$

Чтобы возвести в квадрат полученный трехчлен, снова применим формулу квадрата суммы, сгруппировав слагаемые. Например, представим $(a^2 + 2ab)$ как первое слагаемое, а $b^2$ как второе:

$((a^2 + 2ab) + b^2)^2$

По формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = a^2 + 2ab$ и $y = b^2$, получаем:

$(a^2 + 2ab)^2 + 2 \cdot (a^2 + 2ab) \cdot b^2 + (b^2)^2$

Раскроем каждую часть выражения по отдельности:

$(a^2 + 2ab)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot (2ab) + (2ab)^2 = a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2$

$2 \cdot (a^2 + 2ab) \cdot b^2 = 2(a^2b^2 + 2ab^3) = 2a^2b^2 + 4ab^3$

$(b^2)^2 = b^4$

Теперь сложим все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$(a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2) + (2a^2b^2 + 4ab^3) + b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

б) $(a - b)^4$

Действуем аналогично, представив выражение $(a - b)^4$ как квадрат выражения $(a-b)^2$:

$(a - b)^4 = ((a - b)^2)^2$

Раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим полученный многочлен обратно:

$((a - b)^2)^2 = (a^2 - 2ab + b^2)^2$

Чтобы возвести в квадрат этот трехчлен, сгруппируем слагаемые и снова применим формулу квадрата. Можно, например, применить формулу квадрата суммы, сгруппировав так: $((a^2 - 2ab) + b^2)^2$. Пусть $x = a^2 - 2ab$ и $y = b^2$:

$(a^2 - 2ab)^2 + 2 \cdot (a^2 - 2ab) \cdot b^2 + (b^2)^2$

Раскроем каждую часть выражения:

$(a^2 - 2ab)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2ab) + (2ab)^2 = a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2$ (здесь применили формулу квадрата разности).

$2 \cdot (a^2 - 2ab) \cdot b^2 = 2(a^2b^2 - 2ab^3) = 2a^2b^2 - 4ab^3$

$(b^2)^2 = b^4$

Сложим все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2) + (2a^2b^2 - 4ab^3) + b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.

750 Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b);$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x).$

а) Чтобы представить выражение $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b)$ в виде квадрата двучлена, необходимо сначала раскрыть скобки и упростить его.

1. Раскроем квадрат суммы $(2a + 3b)^2$, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив $-8b$ на каждый член в скобке $(2a + b)$:

$-8b(2a + b) = -8b \cdot 2a - 8b \cdot b = -16ab - 8b^2$.

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 12ab + 9b^2) + (-16ab - 8b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 16ab - 8b^2$

$= 4a^2 + (12ab - 16ab) + (9b^2 - 8b^2) = 4a^2 - 4ab + b^2$.

4. Полученное выражение $4a^2 - 4ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Определим $x$ и $y$: $x^2 = 4a^2 \implies x = 2a$; $y^2 = b^2 \implies y = b$.

Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (2a) \cdot b = -4ab$. Это совпадает со средним членом нашего выражения.

Следовательно, $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.

Ответ: $(2a - b)^2$.

б) Чтобы представить выражение $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x)$ в виде квадрата двучлена, также выполним раскрытие скобок и упрощение.

1. Раскроем квадрат разности $(3x - 2y)^2$, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив $5x$ на каждый член в скобке $(4y - x)$:

$5x(4y - x) = 5x \cdot 4y - 5x \cdot x = 20xy - 5x^2$.

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 12xy + 4y^2) + (20xy - 5x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 + 20xy - 5x^2$

$= (9x^2 - 5x^2) + (-12xy + 20xy) + 4y^2 = 4x^2 + 8xy + 4y^2$.

4. Полученное выражение $4x^2 + 8xy + 4y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим $a$ и $b$: $a^2 = 4x^2 \implies a = 2x$; $b^2 = 4y^2 \implies b = 2y$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot (2y) = 8xy$. Это совпадает со средним членом нашего выражения.

Следовательно, $4x^2 + 8xy + 4y^2 = (2x + 2y)^2$.

Ответ: $(2x + 2y)^2$.