Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

734 Подберите такое k, чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена:

а) $a^2 - 2a + k;$

б) $x^2 + 6x + k;$

в) $m^2 + km + 16;$

г) $y^2 + ky + 25;$

д) $k - 6n + n^2;$

е) $k + 8ab + b^2.$

Для того чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена, он должен представлять собой полный квадрат, то есть соответствовать одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Используя эти формулы, подберем значение k для каждого случая.

а) $a^2 - 2a + k$

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сравним наш трёхчлен с формулой: Первый член $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Удвоенное произведение первого и второго членов $2xy = 2a$. Подставляя $x=a$, получаем $2ay = 2a$, откуда $y=1$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = y^2$. Следовательно, $k = 1^2 = 1$. При $k=1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Ответ: $k=1$.

б) $x^2 + 6x + k$

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сравним наш трёхчлен с формулой: Первый член $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Удвоенное произведение первого и второго членов $2ab = 6x$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb = 6x$, откуда $2b=6$ и $b=3$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = b^2$. Следовательно, $k = 3^2 = 9$. При $k=9$ получаем $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Ответ: $k=9$.

в) $m^2 + km + 16$

Этот трёхчлен может быть как квадратом суммы, так и квадратом разности. Первый член $a^2 = m^2 \implies a=m$. Третий член $b^2 = 16 \implies b=4$. Средний член $km$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$. $km = \pm 2 \cdot m \cdot 4 = \pm 8m$. Отсюда $k = \pm 8$. Если $k=8$, то $m^2 + 8m + 16 = (m+4)^2$. Если $k=-8$, то $m^2 - 8m + 16 = (m-4)^2$.

Ответ: $k=8$ или $k=-8$.

г) $y^2 + ky + 25$

Этот случай аналогичен предыдущему. Первый член $a^2 = y^2 \implies a=y$. Третий член $b^2 = 25 \implies b=5$. Средний член $ky$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$. $ky = \pm 2 \cdot y \cdot 5 = \pm 10y$. Отсюда $k = \pm 10$. Если $k=10$, то $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$. Если $k=-10$, то $y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$.

Ответ: $k=10$ или $k=-10$.

д) $k - 6n + n^2$

Перепишем выражение в стандартном виде: $n^2 - 6n + k$. Этот трёхчлен должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $a^2 = n^2 \implies a=n$. Удвоенное произведение $2ab = 6n$. Подставляя $a=n$, получаем $2nb = 6n$, откуда $2b=6$ и $b=3$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = b^2$. Следовательно, $k = 3^2 = 9$. При $k=9$ получаем $9 - 6n + n^2$ или $n^2 - 6n + 9 = (n-3)^2$.

Ответ: $k=9$.

е) $k + 8ab + b^2$

Этот трёхчлен должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Один из членов полного квадрата это $b^2$, значит, можно предположить, что $y^2 = b^2 \implies y=b$. Средний член, удвоенное произведение, равен $2xy = 8ab$. Подставим $y=b$: $2xb = 8ab$. Отсюда $2x = 8a$, и $x = 4a$. Первый член $k$ должен быть равен квадрату первого члена, то есть $k = x^2$. Следовательно, $k = (4a)^2 = 16a^2$. При $k=16a^2$ получаем $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.

Ответ: $k=16a^2$.

735 Упростите выражение:

а) $(x + 4)^2 - 7x;$
б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c);$
в) $(x - y)^2 + x(y - x);$
г) $(a + b)^2 - 2b(a - b);$
д) $9m^2 - (n - 3m)^2;$
е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2;$
ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2;$
з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2.$

а) $(x + 4)^2 - 7x$
Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(x^2 + 8x + 16) - 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (8x - 7x) + 16 = x^2 + x + 16$
Ответ: $x^2 + x + 16$

б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c)$
Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и вторые скобки:
$(c - 1)^2 - (1 - 2c) = (c^2 - 2 \cdot c \cdot 1 + 1^2) - 1 + 2c = c^2 - 2c + 1 - 1 + 2c$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$c^2 + (-2c + 2c) + (1 - 1) = c^2$
Ответ: $c^2$

в) $(x - y)^2 + x(y - x)$
Раскроем квадрат разности и вторые скобки:
$(x - y)^2 + x(y - x) = (x^2 - 2xy + y^2) + (xy - x^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-2xy + xy) + y^2 = 0 - xy + y^2 = y^2 - xy$
Ответ: $y^2 - xy$

г) $(a + b)^2 - 2b(a - b)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и распределительный закон:
$(a + b)^2 - 2b(a - b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ba - 2b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 2b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 + 2b^2) = a^2 + 3b^2$
Ответ: $a^2 + 3b^2$

д) $9m^2 - (n - 3m)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$9m^2 - (n^2 - 2 \cdot n \cdot 3m + (3m)^2) = 9m^2 - (n^2 - 6nm + 9m^2)$
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$9m^2 - n^2 + 6nm - 9m^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 - 9m^2) - n^2 + 6nm = 6nm - n^2$
Ответ: $6nm - n^2$

е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2$
Раскроем квадрат разности:
$(a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + 2ab = 2ab$
Ответ: $2ab$

ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2$
Раскроем первые скобки и квадрат разности:
$z(5 - z) + (z - 5)^2 = (5z - z^2) + (z^2 - 10z + 25)$
Приведем подобные слагаемые:
$(-z^2 + z^2) + (5z - 10z) + 25 = -5z + 25$
Ответ: $25 - 5z$

з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2$
Раскроем скобки, используя распределительный закон и формулу квадрата суммы:
$3u(u + 2) - (u + 3)^2 = (3u^2 + 6u) - (u^2 + 6u + 9)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки:
$3u^2 + 6u - u^2 - 6u - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(3u^2 - u^2) + (6u - 6u) - 9 = 2u^2 - 9$
Ответ: $2u^2 - 9$

736 Преобразуйте в многочлен:

a) $2(a - 3)^2;$

б) $3(x + y)^2;$

в) $-5(1 - 2c)^2;$

г) $-4(3m + n)^2;$

д) $0,1(a + 5)^2;$

е) $-\frac{1}{2}(2u - v)^2.$

а) Чтобы преобразовать выражение в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$2(a - 3)^2 = 2(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) = 2(a^2 - 6a + 9)$.
Теперь умножим каждый член многочлена в скобках на 2:
$2 \cdot a^2 - 2 \cdot 6a + 2 \cdot 9 = 2a^2 - 12a + 18$.
Ответ: $2a^2 - 12a + 18$.

б) Для преобразования выражения используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$3(x + y)^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2)$.
Затем умножим полученный многочлен на 3:
$3 \cdot x^2 + 3 \cdot 2xy + 3 \cdot y^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2$.
Ответ: $3x^2 + 6xy + 3y^2$.

в) Сначала раскроем квадрат разности, применив формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$-5(1 - 2c)^2 = -5(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2) = -5(1 - 4c + 4c^2)$.
Теперь умножим каждый член в скобках на -5:
$-5 \cdot 1 - 5 \cdot (-4c) - 5 \cdot 4c^2 = -5 + 20c - 20c^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $-20c^2 + 20c - 5$.
Ответ: $-20c^2 + 20c - 5$.

г) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$-4(3m + n)^2 = -4((3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot n + n^2) = -4(9m^2 + 6mn + n^2)$.
Умножим каждый член многочлена на -4:
$-4 \cdot 9m^2 - 4 \cdot 6mn - 4 \cdot n^2 = -36m^2 - 24mn - 4n^2$.
Ответ: $-36m^2 - 24mn - 4n^2$.

д) Применим формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$0,1(a + 5)^2 = 0,1(a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) = 0,1(a^2 + 10a + 25)$.
Умножим на 0,1:
$0,1 \cdot a^2 + 0,1 \cdot 10a + 0,1 \cdot 25 = 0,1a^2 + a + 2,5$.
Ответ: $0,1a^2 + a + 2,5$.

е) Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$-\frac{1}{2}(2u - v)^2 = -\frac{1}{2}((2u)^2 - 2 \cdot 2u \cdot v + v^2) = -\frac{1}{2}(4u^2 - 4uv + v^2)$.
Умножим каждый член многочлена на $-\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2} \cdot 4u^2 - \frac{1}{2} \cdot (-4uv) - \frac{1}{2} \cdot v^2 = -2u^2 + 2uv - \frac{1}{2}v^2$.
Ответ: $-2u^2 + 2uv - \frac{1}{2}v^2$.

737 Решите уравнение:

а) $(x+3)^2 - x^2 = 33;$

б) $x^2 - (x-5)^2 = 10;$

В) $(x+12)^2 = x(x+8);$

Г) $(x-3)(x+1) = (x-2)^2.$

а) $(x + 3)^2 - x^2 = 33$

Для решения этого уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - x^2 = 33$

$x^2 + 6x + 9 - x^2 = 33$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$6x + 9 = 33$

Перенесем число 9 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$6x = 33 - 9$

$6x = 24$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6.

$x = \frac{24}{6}$

$x = 4$

Ответ: $x=4$.

б) $x^2 - (x - 5)^2 = 10$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$x^2 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 10$

$x^2 - (x^2 - 10x + 25) = 10$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$x^2 - x^2 + 10x - 25 = 10$

Приведем подобные слагаемые.

$10x - 25 = 10$

Перенесем число -25 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$10x = 10 + 25$

$10x = 35$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10.

$x = \frac{35}{10}$

$x = 3.5$

Ответ: $x=3.5$.

в) $(x + 12)^2 = x(x + 8)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон умножения.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x \cdot x + x \cdot 8$

$x^2 + 24x + 144 = x^2 + 8x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую, меняя их знаки на противоположные при переносе.

$x^2 - x^2 + 24x - 8x = -144$

Приведем подобные слагаемые.

$16x = -144$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 16.

$x = \frac{-144}{16}$

$x = -9$

Ответ: $x=-9$.

г) $(x - 3)(x + 1) = (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены (каждый член первого на каждый член второго), в правой — используем формулу квадрата разности.

$x \cdot x + x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

$x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$x^2 - x^2 - 2x + 4x = 4 + 3$

Приведем подобные слагаемые.

$2x = 7$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2.

$x = \frac{7}{2}$

$x = 3.5$

Ответ: $x=3.5$.

738 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2;$

б) $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab;$

в) $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2;$

г) $(a - b)^2 = a(a - b) - b(a - b).$

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Теперь приведем подобные слагаемые ($2ab$ и $-2ab$):

$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$ является верным.

б) Чтобы доказать тождество $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$, преобразуем его правую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$

Теперь приведем подобные слагаемые ($-2ab$ и $2ab$):

$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$ является верным.

в) Чтобы доказать тождество $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2$, преобразуем его левую часть. Мы видим, что у обоих слагаемых, $a(a+b)$ и $b(a+b)$, есть общий множитель $(a+b)$. Вынесем его за скобки.

$a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b)$

Произведение двух одинаковых выражений равно квадрату этого выражения:

$(a + b)(a + b) = (a + b)^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $(a + b)^2 = (a + b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2$ является верным.

г) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = a(a - b) - b(a - b)$, преобразуем его правую часть. Мы видим, что у уменьшаемого $a(a-b)$ и вычитаемого $b(a-b)$ есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки.

$a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b)$

Произведение двух одинаковых выражений равно квадрату этого выражения:

$(a - b)(a - b) = (a - b)^2$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $(a - b)^2 = (a - b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $(a - b)^2 = a(a - b) - b(a - b)$ является верным.

739 МОДЕЛИРУЕМ

Проиллюстрируйте с помощью рисунка 7.7 формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рис. 7.7

Для иллюстрации формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на площади фигур, изображенных на рисунке 7.7.

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$, его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$. Внутри него находится меньший квадрат (заштрихованный по диагонали) со стороной $(a-b)$, площадь которого равна $(a-b)^2$. Чтобы найти эту площадь, мы можем из площади большого квадрата вычесть площадь L-образной фигуры (гномона), которая его окружает.

L-образная фигура состоит из трех частей: двух прямоугольников со сторонами $b$ и $(a-b)$ и одного квадрата со стороной $b$. Суммарная площадь этих трех частей составляет: $S_{L-фигура} = b(a-b) + (a-b)b + b^2$. Раскрыв скобки и упростив, получим: $S_{L-фигура} = (ab - b^2) + (ab - b^2) + b^2 = 2ab - b^2$.

Теперь, чтобы найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$, вычтем найденную площадь L-образной фигуры из общей площади большого квадрата: $(a-b)^2 = S_{общ} - S_{L-фигура} = a^2 - (2ab - b^2)$.

Раскрыв скобки, мы получаем искомое тождество: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Таким образом, формула квадрата разности проиллюстрирована геометрически.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно представить как площадь большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), из которой вычтена площадь L-образной фигуры. Площадь L-образной фигуры, в свою очередь, состоит из двух прямоугольников со сторонами $b$ и $(a-b)$ и одного квадрата со стороной $b$. Суммарная площадь этих трех фигур равна $b(a-b) + (a-b)b + b^2 = 2ab - 2b^2 + b^2 = 2ab - b^2$. Вычитая эту площадь из площади большого квадрата, получаем: $(a-b)^2 = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$, что и доказывает формулу.

740 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. Поясните это равенство с помощью рисунка 7.8.

Рис. 7.8

Доказательство

Для доказательства тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и квадратом разности.

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим разложения квадратов в левую часть исходного выражения:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна правой: $4ab = 4ab$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано с помощью алгебраических преобразований левой части равенства с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности.

Пояснение с помощью рисунка 7.8

Данное тождество можно доказать геометрически, используя площади фигур, изображенных на рисунке.

1. Весь рисунок представляет собой большой квадрат. Согласно обозначениям, его сторона равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a + b)$. Площадь этого большого квадрата составляет $S_{большого} = (a + b)^2$.

2. В центре расположен незаштрихованный квадрат. Его сторону можно найти, вычтя из стороны большого квадрата $(a+b)$ ширину заштрихованной области с двух сторон. Ширина этой области равна $b$. Таким образом, сторона внутреннего квадрата равна $(a+b) - b - b = a - b$. Площадь этого малого квадрата равна $S_{малого} = (a - b)^2$.

3. Заштрихованная область — это разность площадей большого и малого квадратов. Ее площадь $S_{заштрих.}$ равна: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a + b)^2 - (a - b)^2$. Это выражение является левой частью доказываемого тождества.

4. С другой стороны, заштрихованная область состоит из четырех одинаковых прямоугольников, расположенных "вертушкой" вокруг центрального квадрата. У каждого из этих прямоугольников одна сторона равна $a$, а другая — $b$. Площадь одного такого прямоугольника равна $a \cdot b$.

5. Так как таких прямоугольников четыре, то общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$. Это выражение является правой частью доказываемого тождества.

Поскольку мы вычислили площадь одной и той же заштрихованной фигуры двумя разными способами, результаты должны быть равны. Следовательно, мы можем приравнять полученные выражения: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.

Ответ: Рисунок демонстрирует, что площадь заштрихованной фигуры может быть представлена как разность площадей двух квадратов со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$, и в то же время как сумма площадей четырех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Это доказывает равенство $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.

741 Докажите, что $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$. Поясните это равенство с помощью рисунка 7.9.

$a$

$a-b$

$b$

$a$

$b$

$ab$

$ab$

$b^2$

Рис. 7.7

$b$

$a$

$a$

$b$

Рис. 7.8

$a$

$b$

$a$

$b$

Рис. 7.9

Алгебраическое доказательство

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 0 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ является тождеством, что и требовалось доказать.

Объяснение с помощью рисунка 7.9

Рисунок 7.9 представляет собой наложение двух квадратов: большого со стороной $a$ и меньшего со стороной $b$.

Площадь большого квадрата равна $a^2$. На рисунке она соответствует области с диагональной штриховкой и области с перекрестной штриховкой.

Площадь малого квадрата равна $b^2$. На рисунке она соответствует области с вертикальной штриховкой и области с перекрестной штриховкой.

Область с перекрестной штриховкой — это место пересечения (наложения) двух квадратов. Из рисунка видно, что сторона этого квадрата равна разности сторон большого и малого квадратов, то есть $(a - b)$. Его площадь равна $(a - b)^2$.

Рассмотрим сумму площадей двух исходных квадратов: $a^2 + b^2$. Если мы сложим их площади, то площадь их общей части (пересечения) будет учтена дважды. Таким образом, сумма площадей $a^2 + b^2$ равна площади всей заштрихованной фигуры (объединения) плюс еще раз площадь пересечения.

Площадь всей заштрихованной фигуры (объединения) можно вычислить как $A_{объед.} = a^2 + b^2 - (a - b)^2 = a^2 + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 2ab$.

Теперь вернемся к тождеству: $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Левая часть: $(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2$.

Правая часть: $2(a^2 + b^2)$.

Рисунок геометрически показывает, как связаны между собой величины $a^2, b^2$ и $(a-b)^2$. Он иллюстрирует, что сумма площадей двух квадратов ($a^2+b^2$) может быть представлена как сумма площади их объединения ($2ab$) и площади их пересечения ($(a-b)^2$). То есть, $a^2 + b^2 = 2ab + (a-b)^2$. Это одна из перестановок формулы квадрата разности.

Само тождество можно представить так: площадь квадрата со стороной $(a+b)$ плюс площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна удвоенной сумме площадей квадратов со сторонами $a$ и $b$. Рисунок помогает визуализировать компоненты, из которых строится это равенство.

Ответ: Рисунок 7.9 показывает, что сумма площадей квадратов со сторонами $a$ и $b$ равна сумме площади их объединения (которая равна $2ab$) и площади их пересечения (которая равна $(a-b)^2$). Эти геометрические соотношения являются составными частями доказываемого алгебраического тождества.