Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Составьте уравнение по условию задачи, взяв за образец пример 1:

«Автомобиль и автобус, находящиеся на расстоянии 30 км друг от друга, одновременно начали движение навстречу друг другу. Они встретились через 12 мин. Скорость автомобиля была в 1,5 раза больше скорости автобуса. Чему равна скорость автобуса?»

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение на основе данных условий.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость автобуса.
Поскольку скорость автомобиля в 1,5 раза больше, она составляет $1,5x$ км/ч.

Составление уравнения

Автомобиль и автобус движутся навстречу друг другу. В этом случае их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_{автобуса} + v_{автомобиля} = x + 1,5x = 2,5x$ км/ч.

Время, через которое они встретились, составляет $t = 12$ минут. Для согласования единиц измерения (скорость выражена в км/ч) переведем минуты в часы:

$t = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч} = 0,2 \text{ ч}$.

Общее расстояние $S$, которое они проехали до встречи, равно начальному расстоянию между ними — 30 км. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, подставим известные величины:

$30 = (x + 1,5x) \cdot 0,2$

Это и есть уравнение, составленное по условию задачи.

Ответ: Уравнение по условию задачи: $(x + 1,5x) \cdot 0,2 = 30$, где $x$ — скорость автобуса в км/ч.

Нахождение скорости автобуса

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти скорость автобуса $x$.

1. Упростим выражение в скобках:

$2,5x \cdot 0,2 = 30$

2. Выполним умножение в левой части уравнения:

$0,5x = 30$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{30}{0,5}$

$x = 60$

Следовательно, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса равна 60 км/ч.

Как иначе можно переформулировать условие о восьми минутах в задаче, разобранной в примере 2? Составьте уравнение по условию этой задачи, обозначив буквой x время движения Ивана.

Как иначе можно переформулировать условие о восьми минутах в задаче, разобранной в примере 2?

Поскольку полный текст задачи из примера 2 отсутствует, будем исходить из наиболее распространенного типа задач на движение, где фигурирует разница во времени. Если в задаче один участник движения прибыл к месту назначения на 8 минут раньше Ивана, то это условие можно переформулировать. Например, можно сказать, что Иван прибыл на 8 минут позже, или что разница во времени их движения составляет 8 минут. Наиболее точной и удобной для составления уравнений является следующая формулировка: Иван затратил на дорогу на 8 минут больше времени, чем другой участник движения.

Составьте уравнение по условию этой задачи, обозначив буквой x время движения Ивана.

Для составления уравнения предположим, что Иван и другой участник движения преодолели одинаковое расстояние $S$, двигаясь с постоянными скоростями $v_И$ и $v_П$ соответственно.

Обозначим время движения Ивана буквой $x$. Согласно переформулированному условию, время движения другого участника на 8 минут меньше. При составлении уравнения важно, чтобы все величины были выражены в согласованных единицах измерения.

Вариант 1: Время измеряется в часах.

В этом случае $x$ — время движения Ивана в часах. Разницу во времени в 8 минут также необходимо перевести в часы:

$8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$

Время движения второго участника составляет $(x - \frac{2}{15})$ часов. Скорости $v_И$ и $v_П$ должны быть выражены в единицах расстояния в час (например, км/ч).

Расстояние, пройденное Иваном: $S = v_И \cdot x$.

Расстояние, пройденное другим участником: $S = v_П \cdot (x - \frac{2}{15})$.

Так как они проехали одинаковое расстояние, мы можем приравнять правые части выражений и получить уравнение:

$v_И \cdot x = v_П \cdot (x - \frac{2}{15})$

Вариант 2: Время измеряется в минутах.

В этом случае $x$ — время движения Ивана в минутах. Время движения другого участника составляет $(x - 8)$ минут. Скорости $v_И$ и $v_П$ должны быть выражены в единицах расстояния в минуту (например, м/мин или км/мин).

Расстояние, пройденное Иваном: $S = v_И \cdot x$.

Расстояние, пройденное другим участником: $S = v_П \cdot (x - 8)$.

Уравнение в этом случае будет иметь вид:

$v_И \cdot x = v_П \cdot (x - 8)$

Это уравнение в общем виде. Для нахождения конкретного значения $x$ необходимо знать числовые значения скоростей $v_И$ и $v_П$ (или их соотношение) из условия задачи в примере 2.

Ответ: Условие о восьми минутах можно переформулировать как: «Иван затратил на дорогу на 8 минут больше времени, чем другой участник движения». Уравнение по условию задачи имеет вид $v_И \cdot x = v_П \cdot (x - \frac{2}{15})$, если $x$ — время Ивана в часах, или $v_И \cdot x = v_П \cdot (x - 8)$, если $x$ — время Ивана в минутах (где $v_И$ и $v_П$ — соответствующие скорости участников).

По образцу примера 3 сделайте рисунок, моделирующий условие задачи, и составьте уравнение:

«Имеется кусок стекла, одна из сторон которого в 2 раза больше другой. Чтобы вставить его в оконную раму, его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила $3800 \text{ см}^2$. Чему были равны первоначальные размеры стекла?»

Рисунок

Изобразим первоначальный кусок стекла в виде большого прямоугольника и вырезанную для оконной рамы часть в виде малого прямоугольника внутри него. Закрашенная область между ними представляет собой обрезки.

Уравнение и решение

Пусть первоначальная ширина куска стекла равна $x$ см. Согласно условию задачи, одна сторона в 2 раза больше другой, значит, первоначальная длина равна $2x$ см.

Площадь первоначального куска стекла ($S_{1}$) вычисляется как произведение длины на ширину:

$S_{1} = 2x \cdot x = 2x^2$ см².

Чтобы вставить стекло в раму, его длину и ширину уменьшили на 20 см. Новые размеры стекла стали:

• Новая ширина: $(x - 20)$ см
• Новая длина: $(2x - 20)$ см

Площадь стекла, вставленного в раму ($S_{2}$), равна:

$S_{2} = (2x - 20)(x - 20)$ см².

Площадь обрезков — это разница между первоначальной площадью стекла и площадью вставленного стекла. По условию, эта площадь равна 3800 см². Составим уравнение:

$S_{1} - S_{2} = 3800$

$2x^2 - (2x - 20)(x - 20) = 3800$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$(2x - 20)(x - 20) = 2x \cdot x - 2x \cdot 20 - 20 \cdot x + 20 \cdot 20 = 2x^2 - 40x - 20x + 400 = 2x^2 - 60x + 400$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$2x^2 - (2x^2 - 60x + 400) = 3800$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$2x^2 - 2x^2 + 60x - 400 = 3800$

Приведем подобные слагаемые:

$60x - 400 = 3800$

Перенесем -400 в правую часть уравнения:

$60x = 3800 + 400$

$60x = 4200$

Найдем $x$:

$x = \frac{4200}{60} = \frac{420}{6} = 70$

Мы нашли первоначальную ширину стекла: $x = 70$ см.

Теперь найдем первоначальную длину:

$2x = 2 \cdot 70 = 140$ см.

Проверим, что полученные размеры удовлетворяют условию (длина и ширина должны быть больше 20 см, чтобы можно было отрезать по 20 см): $70 > 20$ и $140 > 20$. Условие выполняется.

Ответ: первоначальные размеры стекла были 70 см и 140 см.

Решите задачу (чтобы легче было составить уравнение, сделайте рисунок, 758—760).

758 а) Турист вышел из пункта А по направлению к пункту В, расстояние до которого равно 9 км. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, скорость которого на 10 км/ч больше скорости туриста. Через 0,5 ч они встретились. Определите скорость, с которой шёл турист.

б) Два мальчика выбегают одновременно навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 660 м, и встречаются через 2 мин. Один из них пробегает на 30 м в минуту меньше, чем другой. Сколько метров в минуту пробегает каждый из них?

759 а) Расстояние между двумя железнодорожными станциями А и В равно $300\text{ км}$. От станции А по направлению к станции В вышел пассажирский поезд. Одновременно навстречу ему от станции В вышел электропоезд, скорость которого на $30\text{ км/ч}$ меньше скорости пассажирского поезда. Они встретились через $2\text{ ч}$ на разъезде. На каком расстоянии от А и от В находится разъезд?

б) Расстояние между домами Андрея и Бориса, расположенными на одном шоссе, $2\text{ км}$. Они выходят одновременно из своих домов навстречу друг другу и встречаются через $0.2\text{ ч}$. Скорость Андрея на $1\text{ км/ч}$ больше скорости Бориса. На каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча?

Подсказка. Задачу легче решить, если обозначить буквой какую-нибудь из скоростей.

а)

Пусть $v$ (км/ч) — скорость пассажирского поезда. Согласно условию, скорость электропоезда на 30 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v - 30)$ км/ч.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v + (v - 30) = 2v - 30$ км/ч. Они встретились через $t = 2$ часа, пройдя общее расстояние $S = 300$ км. Используя формулу $S = v_{сбл} \cdot t$, составим уравнение:

$(2v - 30) \cdot 2 = 300$

Решим это уравнение, чтобы найти скорость пассажирского поезда. Сначала разделим обе части на 2:

$2v - 30 = 150$

Теперь добавим 30 к обеим частям:

$2v = 180$

$v = 90$ км/ч.

Итак, скорость пассажирского поезда — 90 км/ч. Скорость электропоезда: $90 - 30 = 60$ км/ч.

Теперь найдем, на каком расстоянии от станций А и В находится разъезд (место встречи). Для этого умножим скорость каждого поезда на время в пути (2 часа).

Расстояние от станции А (путь, пройденный пассажирским поездом): $S_А = 90 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 180$ км.

Расстояние от станции В (путь, пройденный электропоездом): $S_В = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.

Ответ: разъезд находится на расстоянии 180 км от станции А и 120 км от станции В.

б)

Пусть $v$ (км/ч) — скорость Бориса. По условию, скорость Андрея на 1 км/ч больше, то есть она равна $(v + 1)$ км/ч.

Они идут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v + (v + 1) = 2v + 1$ км/ч. Общее расстояние между домами $S = 2$ км, а время до встречи $t = 0,2$ ч. Составим уравнение по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$:

$(2v + 1) \cdot 0,2 = 2$

Решим уравнение, чтобы найти скорость Бориса. Разделим обе части на 0,2:

$2v + 1 = 10$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$2v = 9$

$v = 4,5$ км/ч.

Итак, скорость Бориса — 4,5 км/ч. Чтобы найти, на каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча, нужно вычислить путь, который прошел Борис за 0,2 часа:

$S_Б = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 0,2 \text{ ч} = 0,9$ км.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 0,9 км от дома Бориса.