Номер 3, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 3, страница 213.

По образцу примера 3 сделайте рисунок, моделирующий условие задачи, и составьте уравнение:

«Имеется кусок стекла, одна из сторон которого в 2 раза больше другой. Чтобы вставить его в оконную раму, его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила $3800 \text{ см}^2$. Чему были равны первоначальные размеры стекла?»

Рисунок

Изобразим первоначальный кусок стекла в виде большого прямоугольника и вырезанную для оконной рамы часть в виде малого прямоугольника внутри него. Закрашенная область между ними представляет собой обрезки.

Уравнение и решение

Пусть первоначальная ширина куска стекла равна $x$ см. Согласно условию задачи, одна сторона в 2 раза больше другой, значит, первоначальная длина равна $2x$ см.

Площадь первоначального куска стекла ($S_{1}$) вычисляется как произведение длины на ширину:

$S_{1} = 2x \cdot x = 2x^2$ см².

Чтобы вставить стекло в раму, его длину и ширину уменьшили на 20 см. Новые размеры стекла стали:

• Новая ширина: $(x - 20)$ см
• Новая длина: $(2x - 20)$ см

Площадь стекла, вставленного в раму ($S_{2}$), равна:

$S_{2} = (2x - 20)(x - 20)$ см².

Площадь обрезков — это разница между первоначальной площадью стекла и площадью вставленного стекла. По условию, эта площадь равна 3800 см². Составим уравнение:

$S_{1} - S_{2} = 3800$

$2x^2 - (2x - 20)(x - 20) = 3800$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$(2x - 20)(x - 20) = 2x \cdot x - 2x \cdot 20 - 20 \cdot x + 20 \cdot 20 = 2x^2 - 40x - 20x + 400 = 2x^2 - 60x + 400$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$2x^2 - (2x^2 - 60x + 400) = 3800$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$2x^2 - 2x^2 + 60x - 400 = 3800$

Приведем подобные слагаемые:

$60x - 400 = 3800$

Перенесем -400 в правую часть уравнения:

$60x = 3800 + 400$

$60x = 4200$

Найдем $x$:

$x = \frac{4200}{60} = \frac{420}{6} = 70$

Мы нашли первоначальную ширину стекла: $x = 70$ см.

Теперь найдем первоначальную длину:

$2x = 2 \cdot 70 = 140$ см.

Проверим, что полученные размеры удовлетворяют условию (длина и ширина должны быть больше 20 см, чтобы можно было отрезать по 20 см): $70 > 20$ и $140 > 20$. Условие выполняется.

Ответ: первоначальные размеры стекла были 70 см и 140 см.