Номер 756, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 756, страница 210.

756 Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = 2,5$;

б) $x - \frac{1}{x} = 2$.

а) Дано выражение $x + \frac{1}{x} = 2,5$. Необходимо найти значение $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Чтобы связать эти два выражения, возведем в квадрат обе части исходного равенства. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Произведение $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, поэтому выражение упрощается:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Мы знаем, что $x + \frac{1}{x} = 2,5$, подставим это значение в левую часть:

$(2,5)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$6,25 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6,25 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4,25$

Ответ: 4,25.

б) Дано выражение $x - \frac{1}{x} = 2$. Необходимо найти значение $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Аналогично пункту а), возведем в квадрат обе части исходного равенства. В этот раз используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Упростим выражение, учитывая, что $x \cdot \frac{1}{x} = 1$:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Мы знаем, что $x - \frac{1}{x} = 2$, подставим это значение в левую часть:

$2^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$4 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

Ответ: 6.