Номер 759, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 759, страница 213.

759 а) Расстояние между двумя железнодорожными станциями А и В равно $300\text{ км}$. От станции А по направлению к станции В вышел пассажирский поезд. Одновременно навстречу ему от станции В вышел электропоезд, скорость которого на $30\text{ км/ч}$ меньше скорости пассажирского поезда. Они встретились через $2\text{ ч}$ на разъезде. На каком расстоянии от А и от В находится разъезд?

б) Расстояние между домами Андрея и Бориса, расположенными на одном шоссе, $2\text{ км}$. Они выходят одновременно из своих домов навстречу друг другу и встречаются через $0.2\text{ ч}$. Скорость Андрея на $1\text{ км/ч}$ больше скорости Бориса. На каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча?

Подсказка. Задачу легче решить, если обозначить буквой какую-нибудь из скоростей.

а)

Пусть $v$ (км/ч) — скорость пассажирского поезда. Согласно условию, скорость электропоезда на 30 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v - 30)$ км/ч.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v + (v - 30) = 2v - 30$ км/ч. Они встретились через $t = 2$ часа, пройдя общее расстояние $S = 300$ км. Используя формулу $S = v_{сбл} \cdot t$, составим уравнение:

$(2v - 30) \cdot 2 = 300$

Решим это уравнение, чтобы найти скорость пассажирского поезда. Сначала разделим обе части на 2:

$2v - 30 = 150$

Теперь добавим 30 к обеим частям:

$2v = 180$

$v = 90$ км/ч.

Итак, скорость пассажирского поезда — 90 км/ч. Скорость электропоезда: $90 - 30 = 60$ км/ч.

Теперь найдем, на каком расстоянии от станций А и В находится разъезд (место встречи). Для этого умножим скорость каждого поезда на время в пути (2 часа).

Расстояние от станции А (путь, пройденный пассажирским поездом): $S_А = 90 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 180$ км.

Расстояние от станции В (путь, пройденный электропоездом): $S_В = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.

Ответ: разъезд находится на расстоянии 180 км от станции А и 120 км от станции В.

б)

Пусть $v$ (км/ч) — скорость Бориса. По условию, скорость Андрея на 1 км/ч больше, то есть она равна $(v + 1)$ км/ч.

Они идут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v + (v + 1) = 2v + 1$ км/ч. Общее расстояние между домами $S = 2$ км, а время до встречи $t = 0,2$ ч. Составим уравнение по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$:

$(2v + 1) \cdot 0,2 = 2$

Решим уравнение, чтобы найти скорость Бориса. Разделим обе части на 0,2:

$2v + 1 = 10$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$2v = 9$

$v = 4,5$ км/ч.

Итак, скорость Бориса — 4,5 км/ч. Чтобы найти, на каком расстоянии от дома Бориса произошла встреча, нужно вычислить путь, который прошел Борис за 0,2 часа:

$S_Б = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 0,2 \text{ ч} = 0,9$ км.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 0,9 км от дома Бориса.