Номер 765, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 765, страница 215.

765 а) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов, имеющие одинаковую площадь дна. У одной из них дно квадратное, а у другой — прямоугольное. Длина прямоугольной формы на 8 см больше, а ширина на 6 см меньше, чем сторона квадратной формы. Найдите размеры дна каждой формы.

б) Под строительство был отведён участок земли, имеющий форму квадрата. Площадь этого участка пришлось увеличить на 830 $m^2$. Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м, а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы. Чему была равна площадь первоначального участка?

а)

Пусть сторона дна квадратной формы равна $x$ см. Тогда площадь дна этой формы составляет $S_{кв} = x^2$ см².
Согласно условию, длина прямоугольной формы на 8 см больше стороны квадратной, то есть равна $(x + 8)$ см.
Ширина прямоугольной формы на 6 см меньше стороны квадратной, то есть равна $(x - 6)$ см.
Площадь дна прямоугольной формы составляет $S_{пр} = (x + 8)(x - 6)$ см².
Так как площади дна обеих форм одинаковы ($S_{кв} = S_{пр}$), мы можем составить уравнение:

$x^2 = (x + 8)(x - 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x^2 = x^2 - 6x + 8x - 48$

Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 + 2x - 48$

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы решить уравнение:
$x^2 - x^2 - 2x + 48 = 0$
$-2x + 48 = 0$
$48 = 2x$
$x = \frac{48}{2}$
$x = 24$

Таким образом, сторона дна квадратной формы равна 24 см.
Теперь найдем размеры дна прямоугольной формы:
Длина: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ см.
Ширина: $x - 6 = 24 - 6 = 18$ см.
Проверка: площадь квадратной формы $24^2 = 576$ см². Площадь прямоугольной формы $32 \times 18 = 576$ см². Площади равны, что соответствует условию задачи.

Ответ: размеры дна квадратной формы — 24 см на 24 см; размеры дна прямоугольной формы — 32 см на 18 см.

б)

Пусть сторона первоначального квадратного участка земли равна $a$ м. Тогда его площадь равна $S_1 = a^2$ м².
После изменений одну сторону участка увеличили на 4 м, и ее длина стала $(a + 4)$ м.
Другую сторону увеличили на 5 м, и ее длина стала $(a + 5)$ м.
Получился новый участок прямоугольной формы, его площадь равна $S_2 = (a + 4)(a + 5)$ м².
Известно, что площадь участка увеличилась на 830 м². Это значит, что новая площадь $S_2$ больше первоначальной площади $S_1$ на 830 м²:
$S_2 = S_1 + 830$

Подставим выражения для площадей и составим уравнение:
$(a + 4)(a + 5) = a^2 + 830$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$a^2 + 5a + 4a + 20 = a^2 + 830$

Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 9a + 20 = a^2 + 830$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:
$9a + 20 = 830$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:
$9a = 830 - 20$
$9a = 810$
$a = \frac{810}{9}$
$a = 90$

Мы нашли длину стороны первоначального квадратного участка, она равна 90 м.
В задаче требуется найти площадь первоначального участка. Вычислим ее:
$S_1 = a^2 = 90^2 = 8100$ м².

Ответ: площадь первоначального участка была равна 8100 м².