Номер 762, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 762, страница 214.

Решите задачу на движение по реке (762–763).

762 а) Катер по течению реки прошёл за 3,5 ч такое же расстояние, какое он проходит за 4 ч против течения реки. Собственная скорость катера $30 \text{ км/ч}$. Определите скорость течения реки. Какое расстояние прошёл катер по течению реки?

б) Теплоход прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. Чему равно расстояние между пристанями?

а) Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде, составляет $v_{соб} = 30$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $v_{по} = v_{соб} + x = (30 + x)$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{против} = v_{соб} - x = (30 - x)$ км/ч.
Время движения катера по течению $t_{по} = 3,5$ ч, а против течения $t_{против} = 4$ ч.
Согласно условию, расстояние, пройденное катером по течению ($S_{по}$), равно расстоянию, пройденному против течения ($S_{против}$). Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим и решим уравнение:
$S_{по} = S_{против}$
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{против} \cdot t_{против}$
$(30 + x) \cdot 3,5 = (30 - x) \cdot 4$
$105 + 3,5x = 120 - 4x$
$3,5x + 4x = 120 - 105$
$7,5x = 15$
$x = \frac{15}{7,5}$
$x = 2$
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Теперь найдем расстояние, которое прошёл катер по течению реки:
$S_{по} = (30 + 2) \cdot 3,5 = 32 \cdot 3,5 = 112$ км.
Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч, расстояние, которое прошёл катер по течению реки, — 112 км.

б) Пусть $y$ км/ч — собственная скорость теплохода. Скорость течения реки известна и равна $v_{теч} = 2$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составляет $v_{по} = y + 2$ км/ч, а против течения — $v_{против} = y - 2$ км/ч.
Время движения по течению $t_{по} = 4$ ч, а против течения $t_{против} = 5$ ч.
Расстояние между пристанями одинаково в обоих направлениях, поэтому мы можем приравнять выражения для расстояния:
$S_{по} = S_{против}$
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{против} \cdot t_{против}$
$(y + 2) \cdot 4 = (y - 2) \cdot 5$
Решим полученное уравнение:
$4y + 8 = 5y - 10$
$5y - 4y = 8 + 10$
$y = 18$
Следовательно, собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.
Теперь найдем расстояние между пристанями, используя данные для движения по течению:
$S = (18 + 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80$ км.
Ответ: собственная скорость теплохода — 18 км/ч, расстояние между пристанями — 80 км.